El del DNI

Delantal:

La identificación por medio de una fotografía es más antigua de lo que muchos creen; sirva como ejemplo la imagen que acompaña a la entrada, de 1876. Sin embargo, la técnica no se estandarizó en España hasta 1944, cuando se publicó el decreto que regulaba el DNI. Dirigido en primer lugar a todos los reclusos y ciudadanos en libertad vigilada (la intención de los estados de controlar a sus nacionales sigue siendo un gran recelo a su implantación en muchos países en donde no es obligatorio o ni siquiera existe), hubo que esperar hasta 1951 a su primera expedición, momento en el que los presos habían decrecido en un orden de magnitud y la pobreza, al menos la de la Administración, también, aunque bastante menos. Y por mucho que el destinatario del número uno es de sobra conocido, es curioso que la primera poseedora del documento fue una mujer, de los últimos destinatarios de la lista.

Un par de apuntes matemáticos para terminar: no es cierto que la forma de la tarjeta sea un rectángulo áureo, aunque se le parece. Por otro lado, el uso de la letra al final no se hizo oficial hasta 1990. Como comentamos a continuación, la utilidad fundamental de esta letra es detectar posibles errores sencillos en la escritura del número, un ejemplo muy simple de lo que es un código corrector de errores. Esperemos que este redactor no detecte ningún error en las soluciones que nos manden nuestros queridos lectores.

Divertimento:

El Documento Nacional de Identidad recoge un número personal y un carácter de verificación. Para calcular dicho carácter de control se divide el número entre 23 y el resto se sustituye por una letra que se determina por inspección mediante la siguiente tabla:

RESTO	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
LETRA	T	R	W	A	G	M	Y	F	P	D	X	B

RESTO	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22
LETRA	N	J	Z	S	Q	V	H	L	C	K	E

Por ejemplo, si el número del DNI es 12345678, como dividido entre 23 da de resto 14, la letra sería la Z: 12345678Z. En este divertimento pedimos lo siguiente:

1. Si en un formulario electrónico se introduce el número del DNI con un error (una cifra equivocada y las demás bien colocadas y en su posición) y la letra correcta, probar que el sistema puede detectar el error.
2. Si en un formulario electrónico se introduce el DNI con dos cifras consecutivas intercambiadas (y las demás bien colocadas y en su posición) y la letra correcta, probar que el sistema también puede detectar el error.
3. Si en un formulario electrónico se introduce el DNI con dos cifras consecutivas equivocadas (y las demás bien colocadas y en su posición) y la letra correcta, probar que el sistema puede no detectar el error. Supongamos que las cifras correctas, colocadas en las posiciones \(m\)- y \((m+1)\)-ésima son \(a\) y \(b\), y que por error, sustituimos estos números por \(c\) y \(d\). ¿Qué relación habrá entre esos cuatro números para que al colocar la misma letra en ambos casos, el sistema no detecte el error? ¿Cuántas cuaternas de la forma \((a,b,c,d)\) hay cumpliendo esas condiciones?

Solución:

Envía tus soluciones, hasta el domingo 2 de febrero, a la dirección ‘divertimentos-blog-imus(arroba)us.es’. La solución aparecerá el miércoles 5 de febrero. Recuerda no dejar pistas en los comentarios hasta que no se publique la solución del problema.