Solución: Cambio de año coprimo

Publicamos la solución al divertimento del cambio de año coprimo. Gracias a Antonio Navas por la solución que nos ha enviado.

Divertimento:

Sean \(a\) y \(b\) dos enteros positivos tales que
$$ (2+\sqrt{19})^{2020}=a+b\sqrt{19}.$$
Probar que \(a\) y \(b\) son coprimos.

Solución:

Calculando las sucesivas potencias de \(2+\sqrt{19}\) y agrupando los sumandos enteros y aquellos que multipliquen a \(\sqrt{19}\) podemos definir las sucesiones de naturales \(\{a_n\}_{n\geq1}\) y \(\{b_n\}_{n\geq1}\) de modo que
$$ (2+\sqrt{19})^n=a_n+b_n\sqrt{19}.$$
Es equivalente probar que \(a_{2020}\) y \(b_{2020}\) son coprimos.

Vamos a probar que, de hecho, \(a_n\) y \(b_n\) son coprimos para todo \(n\geq1\), y lo haremos por inducción en \(n\). El primer caso es evidente, así que podemos suponer que el resultado es cierto para un \(r\geq1\) concreto. Así,
$$ (2+\sqrt{19})^{r+1}=(2a_r+19b_r)+(a_r+2b_r)\sqrt{19}.$$
Si existiera un primo \(p\) que dividiera a \(a_{r+1}\) y \(b_{r+1}\), entonces \(p\) dividiría también a \(a_{r+1}-2b_{r+1}=15b_r\) y a \(2a_{r+1}-19b_{r+1}=-15a_r\). Por tanto \(p\) puede ser \(3\), \(5\) o un divisor de \(a_r\) y \(b_r\). Como el último caso no puede darse por la hipótesis de inducción, nos quedamos con las dos primeras posibilidades.

Para descartar que \(p\) sea \(3\) o \(5\), vamos a fijarnos en los primeros valores de los \(a_n\) y los \(b_n\), obteniendo la siguiente tabla:
$$ \begin{array}{c|cccc}
n & 1 & 2 & 3 & 4\\
a_n & 2 & 23 & 122 & 833\\
b_n & 1 & 4 & 31 & 184
\end{array}.$$
Podemos ver que para los cuatro primeros valores de \(n\), \(a_n\equiv -1\mod 3\) y \(b_n\equiv 1\mod 3\). Esta congruencia se tiene en general; en efecto, y de nuevo por inducción, si es cierta para \((a_j,b_j)\), también se tiene para \((a_{j+1},b_{j+1})\), pues
$$ a_{j+1}= 2a_j+19b_j\equiv-a_j+b_j\equiv-1\mod 3,$$

$$ b_{j+1}=a_j+2b_j\equiv a_j-b_j\equiv1\mod 3.$$
Por tanto, ningún \(a_n\) ni ningún \(b_n\) pueden ser múltiplos de \(3\).

Con la divisibilidad por \(5\) ocurre algo parecido; observando los valores de la tabla podemos atrevernos a conjeturar que \(a_n\equiv 2(-1)^{n-1} \mod 5\) y \(b_n\equiv (-1)^{n-1}\mod 5\). De nuevo por inducción, si esto ocurre para alguna pareja \(\{a_k,b_k\}\) dada, se tendrá que
$$ a_{k+1}= 2a_k+19b_k\equiv2a_k-b_k\equiv(-1-1)(-1)^{n-1}\equiv2(-1)^n\mod 5,$$

$$ b_{k+1}= a_k+2b_k\equiv (2+2)(-1)^{n-1}\equiv(-1)^n\mod 5,$$
y por consiguiente, \(5\) tampoco puede dividir a ningún \(a_n\) ni ningún \(b_n\). En conclusión, \(a_n\) y \(b_n\) son coprimos para cualquier \(n\geq1\).