Solución: Cuatro piezas de ajedrez

Publicamos la solución al divertimento de las cuatro piezas de ajedrez. Gracias a Antonio Navas por la solución que nos ha enviado.

Divertimento:

Un tablero de ajedrez tiene tamaño \(n \times n\), con \(n >1\). ¿Cuál es el menor número de piezas que hay que colocar sobre el tablero para garantizar que cuatro de ellas determinan un paralelogramo?

Solución:

En primer lugar observamos que existen cuatro piezas formando un paralelogramo si y solo si existen dos filas con dos piezas a la misma distancia en horizonal, como en la imagen del enunciado.

El número mínimo de piezas es \(2n\). Efectivamente, se pueden colocar \(2n -1\) piezas a lo largo de una fila y una columna, que no generan un paralelogramo. Veamos que con \(2n\) piezas se garantiza que existe un paralelogramo.

Sean \(F_1, \ldots, F_m\), con \(2\leq m\leq n\), las filas que contienen al menos \(2\) piezas, y denotemos por \(d_1, \ldots, d_k\) a las distancias de las piezas más a la izquierda de cada fila a cada una de las piezas que hay a su derecha. Por el tamaño del tablero, \(1 \leq d_i \leq n-1\) para \(i=1,\ldots,k\).

Hay \(n-m\) filas que tienen a lo sumo una pieza. Por tanto, el número total de piezas en las filas \(F_1, \ldots , F_m\) es mayor o igual que \(2n-(n-m) = n+m\). De entre esas piezas, \(m\) de ellas son la pieza más a la izquierda de su fila. Por consiguiente, podemos deducir que \(k\), el número de distancias \(d_1, \ldots, d_k\), es al menos \((n+m)-m =n\).

Por el principio del palomar, deben existir dos distancias iguales, que necesariamente tienen que provenir de filas distintas, y por tanto generan un paralelogramo.