Solución: El del DNI

Publicamos la solución al divertimento del DNI. Gracias a Antonio Navas por la solución que nos ha enviado.

Divertimento:

El Documento Nacional de Identidad recoge un número personal y un carácter de verificación. Para calcular dicho carácter de control se divide el número entre 23 y el resto se sustituye por una letra que se determina por inspección mediante la siguiente tabla:

RESTO	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
LETRA	T	R	W	A	G	M	Y	F	P	D	X	B

RESTO	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22
LETRA	N	J	Z	S	Q	V	H	L	C	K	E

Por ejemplo, si el número del DNI es 12345678, como dividido entre 23 da de resto 14, la letra sería la Z: 12345678Z. En este divertimento pedimos lo siguiente:

1. Si en un formulario electrónico se introduce el número del DNI con un error (una cifra equivocada y las demás bien colocadas y en su posición) y la letra correcta, probar que el sistema puede detectar el error.
2. Si en un formulario electrónico se introduce el DNI con dos cifras consecutivas intercambiadas (y las demás bien colocadas y en su posición) y la letra correcta, probar que el sistema también puede detectar el error.
3. Si en un formulario electrónico se introduce el DNI con dos cifras consecutivas equivocadas (y las demás bien colocadas y en su posición) y la letra correcta, probar que el sistema puede no detectar el error. Supongamos que las cifras correctas, colocadas en las posiciones \(m\)- y \((m+1)\)-ésima son \(a\) y \(b\), y que por error, sustituimos estos números por \(c\) y \(d\). ¿Qué relación habrá entre esos cuatro números para que al colocar la misma letra en ambos casos, el sistema no detecte el error? ¿Cuántas cuaternas de la forma \((a,b,c,d)\) hay cumpliendo esas condiciones?

Solución:

(Solución adaptada entre la propuesta y la de Antonio Navas.)

Dos números distintos tienen asignada la misma letra si y solo si tienen el mismo resto al dividirlos entre \(23\), es decir, si su diferencia es múltiplo de \(23\) (son congruentes módulo \(23\)).

1. En este caso, la diferencia entre los dos números, el correcto y el equivocado, no es múltiplo de \(23\). En efecto, supongamos que el número correcto tiene el dígito \(a\) en la posición \(m\)-ésima (comenzando a contar desde la derecha, con \(1\leq m\leq8\)) y que por error ponemos \(b\) en dicha posición. La diferencia entre ambos números tendrá el dígito \(d=|a-b|\) en la posición \(m\)-ésima y \(0\) en las restantes. Se trata por tanto de comprobar que el número \(10^{m-1}d\) no es múltiplo de \(23\), lo que es evidente.
2. Supongamos ahora que en las posiciones \(m\)- y \((m+1)\)-ésima (con \(1\leq m\leq7\)) están los dígitos correctos \(a\) y \(b\) y que por error, escribimos \(b\) y \(a\), en ese orden. Tomando al igual que antes \(d=|a-b|\), resultará que la diferencia (positiva) entre ambos números será \(10^md-10^{m-1}d=9\cdot10^{m-1}d\), que obviamente tampoco es múltiplo de \(23\).
3. Supongamos ahora que en las posiciones \(m\)- y \((m+1)\)-ésima están los dígitos correctos \(a\) y \(b\) y que por error introducimos \(c\) y \(d\), respectivamente. En este caso, dividiendo por \(10^{m-1}\), tendremos que \(10b+a\equiv 10c+d\mod 23\), donde \(a\neq c\) y \(b\neq d\). Por tanto, buscamos pares de números distintos, de dos cifras a lo sumo, cuyos restos al dividir entre 23 coincidan. Como \(99=4\cdot 23+7\), podemos distinguir dos casos:

• Restos del \(0\) al \(7\): Podemos hallar cinco elementos entre \(0\) y \(99\), así que habrá \(5\cdot4=20\) parejas. Por ejemplo, para el resto \(1\), nuestros dígitos \(a\), \(b\), \(c\) y \(d\) deben formar, en ese orden, dos números distintos del conjunto \(\{01, 24, 47, 70, 93\}\).
• Restos del \(8\) al \(22\): Podemos hallar cuatro elementos entre \( 0\) y \(99\), así que habrá \(4\cdot3=12\) parejas.
• Contando las parejas posibles por cada resto, obtenemos \(8\cdot20+15\cdot12=340\). (Si excluimos de nuestro cómputo las alteraciones del 00000000T, que no existe, la cantidad baja hasta \(336\) cuaternas, de \(8100\) posibles.)