Solución: Pila de cubos

Publicamos la solución al divertimento de la pila de cubos. Gracias a Jaime Benabent, Gustavo Roque Collado, Antonio Navas y Cristóbal Sánchez-Rubio por las soluciones que nos han enviado. Agradecemos también a Jaime Benabent por el procedimiento de C++ que nos ha enviado. Se han recibido dos soluciones incompletas.

Divertimento:

Se dispone de quince cubos, cada uno de ellos numerado por un entero positivo en una sola cara, que se colocan uno sobre otro formando una pirámide de base cinco. Sobre estos cinco cubos se sitúan cuatro de ellos; sobre estos cuatro se sitúan tres y sobre estos dos que a su vez sustentan el cubo restante. Todos ellos tienen visible su cara numerada, y el número que muestran es la diferencia entre los de los cubos que lo soportan. Completar los números que faltan obteniendo todas las soluciones posibles.

\(\begin{array}{ccccccccc} & & & & a & & & & \\ & & & 2 & & b & & & \\ & & 4 & & c & & 24 & & \\ & d & & e & & f & & g & \\ h & & i & & 23 & & 58 & & j\end{array}\)

Solución:

Consideremos un pequeño triángulo de la forma

\(\begin{array}{ccc} & x & \\ y & & z\,\,. \end{array}\)

Usaremos una (única) idea clave: si se conocen \(y\) y \(z\) hay un único valor de \(x\) válido, concretamente \(|y-z|\), pero si se conocen \(x\) e \(y\), puede haber uno o dos valores posibles de \(z\), porque siempre podríamos tomar \(z=y+x\) y a veces también \(z=y-x\), si \(y>x\). Con esto en mente, analicemos el triángulo del enunciado.

Nos fijamos en primer lugar en el triángulo inferior derecho:

\(\begin{array}{ccccc} & & 24 & & \\ & f & & g & \\ 23 & & 58 & & j\,\,.\end{array}\)

Según lo expuesto en el primer párrafo, \(f=35\), con lo que \(g\) puede ser \(59\) u \(11\), que a su vez nos determinan tres valores posibles de \(j\): si \(g=59\), entonces \(j=117\) necesariamente, y si \(g=11\), entonces \(j\) puede ser \(69\) o \(47\). Vamos a escribir las tres posibilidades:

\(\begin{array}{ccccccccccccccccc} & & 24 & & & & & & 24 & & & & & & 24 & & \\ & 35 & & 59 & & & & 35 & & 11 & & & & 35 & & 11 & \\ 23 & & 58 & & 117 & , & 23 & & 58 & & 69 & , & 23 & & 58 & & 47\,\,. \end{array}\)

Ahora nos centramos en las tres filas de arriba:

\(\begin{array}{ccccc} & & a & & \\ & 2 & & b & \\ 4 & & c & & 24 \,\,. \end{array}\)

En este caso los valores de \(a\) y \(b\) vienen determinados unívocamente por \(c\), que puede ser \(2\) o \(6\), y así acabamos con las dos siguientes posibilidades:

\(\begin{array}{ccccccccccc} & & 16 & & & & & & 20 & & \\ & 2 & & 18 & & & & 2 & & 22 & \\ 4 & & 6 & & 24 & , & 4 & & 2 & & 24\,\,. \end{array}\)

Por último, cada valor de \(c\) también determina ocho opciones para el resto del triángulo, dado por el fragmento

\(\begin{array} {ccccccc} & & 4 & & c & & \\ & d & & e & & 35 & \\ h & & i & & 23 & &. \end{array}\)

Nos limitaremos a escribirlas, donde separaremos con las barras posibilidades para los valores de \(h\):

\(\begin{array}{cccccccccccccc} & & 4 & & 2 & & & & & 4 & & 2 & & \\ & 41 & & 37 & & 35 & & & 33 & & 37 & & 35 & \\ 101/19 & & 60 & & 23 & & , & 93/27 & & 60 & & 23 & &,\end{array}\)

\(\begin{array}{cccccccccccccc} & & 4 & & 2 & & & & & 4 & & 2 & & \\ & 37 & & 33 & & 35 & & & 29 & & 33 & & 35& \\ 93/19 & & 56 & & 23 & & , & 85/27 & & 56 & & 23 & &, \end{array}\)

\(\begin{array}{cccccccccccccc} & & 4 & & 6 & & & & & 4 & & 6 & & \\ & 45 & & 41 & & 35 & & & 37 & & 41 & & 35& \\ 109/19 & & 64 & & 23 & & , & 101/27 & & 64 & & 23 & &,\end{array}\)

\(\begin{array}{cccccccccccccc} & & 4 & & 6 & & & & & 4 & & 6 & & \\ & 33 & & 29 & & 35 & & & 25 & & 29 & & 35& \\ 85/19 & & 52 & & 23 & & , & 77/27 & & 52 & & 23 & &.\end{array}\)

En conclusión, hay \(3\cdot16=48\) soluciones posibles para el triángulo del enunciado.