Viajando a través del tiempo (y III)

Los agujeros de gusano

Se llama agujero de gusano a una clase especial de soluciones de las ecuaciones de Einstein caracterizadas por proporcionar «atajos» en el espacio-tiempo. Estos atajos permiten, al menos en teoría, pasar de una región del espacio-tiempo a otra por caminos insospechados, no necesariamente coincidentes con los que marcan las geodésicas.

La denominación «agujero de gusano» (wormhole en inglés) se debe al físico estadounidense John Wheeler. Se basa en interpretar el universo como la piel de una manzana y comparar los tiempos que tardaría un gusano en ir desde un punto a otro situado en su antípoda viajando sobre la superficie o cavando un agujero interior. El concepto ha sido llevado al cine en muchas ocasiones. Merece especial atención el tratamiento dado por la película de 2014 Interstellar, dirigida por Christopher Nolan y protagonizada entre otros por Matthew McConaughey y Anne Hathaway.

Lector: si quieres comprender bien esta figura, te sugiero que leas las explicaciones que se dan al final de la Entrada.

En 1935, fue descubierto un primer agujero de gusano, hoy denominado puente de Einstein-Rosen; véase [2]. Bastante tiempo después, en 1962, John Wheeler y Robert Fuller probaron que esta solución es  inestable y que, for fuerza, se desintegraría instantáneamente tan pronto como se formase. En 1988, Kip Thorne y su estudiante Michael Morris descubrieron el agujero que lleva sus nombres; véase [3]. En este caso, la solución es «atravesable», es decir, permite viajar no sólo de una parte del universo a otra, sino incluso de un universo, determinado por una métrica concreta, a otro distinto. Es bien conocida la manera en que suele ser representado; véase la Fig. 1.

A día de hoy no existen indicios de existencia de agujeros de gusano en el espacio-tiempo real. No obstante, la Teoría General de la Relatividad dice que un agujero negro en rotación puede dar lugar a un agujero de gusano. Por otra parte, de acuerdo con una reciente contribución de científicos de las Universidades de Buffalo y Yangzhou, deben existir métodos de detección «sencillos»: dado que un agujero de gusano conecta regiones del espacio-tiempo en principio distantes, los objetos de gran masa situados a un lado deben ejercer influencia gravitatoria relevante sobre los que están al otro lado, véase [1].

En el espacio-tiempo real deben existir «recovecos» y «huecos» suficientes como para sospechar caminos alternativos al habitual no sólo en las direcciones espaciales sino también en el tiempo. De igual manera que observamos irregularidades en la superficie de todo objeto cotidiano, por muy liso que parezca ser su contorno, cabe asimismo esperar que existan minúsculas grietas y arrugas en la dimensión temporal. Estas grietas eventualmente producirán atajos y darán lugar a microscópicos agujeros de gusano. Desafortunadamente, estamos hablando de túneles de una escala tan pequeña que resulta impensable aprovechar su existencia para que un ser humano viaje en el tiempo.

Hablemos de nuevo de viajar a través del tiempo

Según Hawking, un agujero de gusano debe en teoría permitir viajar en el tiempo. La posibilidad aparece si uno de los extremos (denominado \(A\)) posee velocidad relativamente alta respecto del otro (denotado \(B\)). Así, el efecto relativista conduce a una «boca» que envejece más despacio que la otra para un observador exterior. Pero, para un observador colocado en el interior, los extremos permanecen sincronizados; en particular, un individuo que viaje de \(A\) a \(B\) «sale» del agujero en un tiempo anterior al que entró.

Lamentablemente, muchas razones hacen sospechar que esto es pura teoría (e incluso especulación). De entrada, estamos muy lejos de contar con la tecnología necesaria para «construir» un agujero de gusano; tendríamos por tanto que recurrir a agujeros de gusano «naturales» (si los hubiera). Por otra parte, parece muy difícil imaginar un vehículo capaz de viajar con seguridad por el interior de un agujero de gusano, sometido a enormes efectos gravitatorios. Otro aspecto que quita realismo es la necesidad del «viaje de vuelta», una vez que el agujero de gusano nos haya transportado (posiblemente) a un lejano lugar del universo.

Además, viajar hacia atrás en el tiempo es contra-intuitivo e incluso contrario a las leyes de la Física. Conduce a paradojas. Una de las más conocidas es la paradoja del abuelo: un viajero del tiempo regresa en su propio pasado y mata a sus progenitores o a uno de sus abuelos, de manera que nunca es concebido y, en consecuencia, no está vivo.

Por todos estos motivos, la posibilidad del viaje retrógrado en el tiempo es ampliamente rechazada hoy día. En cualquier caso, no parece probable ni factible con nuestro nivel actual de conocimiento científico y tecnológico.

Thorne

Kip Stephen Thorne (n. en 1940) es un físico teórico estadounidense, ganador del Premio Nobel de Física y del Premio Princesa de Asturias de Investigación Científica y Técnica. Se le considera uno de los mayores expertos mundiales en aplicaciones a la Astrofísica de la Teoría de la Relatividad General. Es conocido por sus numerosas contribuciones, por haber formado un gran número de científicos y, también, por su gran capacidad para difundir ideas y resultados, incluso a nivel de divulgación de la ciencia.

De hecho, fue asesor científico de la película Interstellar. Con posterioridad, declaró que, para representar agujeros de gusano y el agujero negro, tras hablar con el director y los productores, se puso a trabajar en las ecuaciones que permitían el rastreo de los rayos de luz, con la intención de no entrar en contradicción con las ecuaciones de Einstein.

En 1975, Thorne protagonizó una apuesta con Hawking en la que defendía la existencia de agujeros negros en el universo real. Lo que estaba en juego era una suscripción a la revista Penthouse. En una entrevista en 2017 contó que, cuando la teoría empezó a ser confirmada por evidencias científicas, los sucesivos ejemplares empezaron a llegar puntualmente a su casa.

De nuevo explicaciones para lectores exigentes

La definición topológica de agujero de gusano no es intuitiva. Se dice que en una región compacta del espacio-tiempo existe un agujero de gusano cuando su conjunto frontera es trivial desde el punto de vista topológico, pero su interior no es simplemente conexo (algo así como un círculo sin centro).

Recuérdese que, en la Teoría de Relatividad General, el espacio-tiempo está determinado por la ecuación de Einstein
$$
R_{\mu\nu} – {1\over2} R g_{\mu\nu} = \kappa T_{\mu\nu} ,
$$
donde \(R = g^{\mu,\nu} R_{\mu,\nu}\) es la curvatura escalar y las \(R_{\mu,\nu}\), \(g_{\mu,\nu}\) y \(T_{\mu,\nu}\) son, respectivamente, las componentes del tensor de Ricci, el tensor métrico y el tensor de energía-momento.

En términos geométrico-físicos, el puente de Einstein-Rosen puede ser descrito como sigue. Consideremos en primer lugar la métrica del agujero negro de Schwarzschild
$$
g = -c^2 \left(1-\frac{2GM}{c^2 r} \right) \mathrm{d}t \otimes \mathrm{d}t + \left(1-\frac{2GM}{c^2 r}\right)^{-1}\mathrm{d}r\otimes \mathrm{d}r + r^2 \left(\mathrm{d}\theta\otimes \mathrm{d}\theta + \sin^2\theta\ \mathrm{d}\phi\otimes \mathrm{d}\phi \right) ,
$$
pongamos \(m := GM/c^2\) e introduzcamos las nuevas variables \(\tau = ct\) y \(u^2 = r – 2m\). Entonces \(g\) puede ser re-escrita en la forma
$$
g = – \frac{u^2}{u^2 + 2m} \, \mathrm{d}\tau \otimes \mathrm{d}\tau + 4(u^2 + 2m)\,\mathrm{d}u\otimes\mathrm{d}u
+ (u^2 + 2m)^2\left(\mathrm{d}\theta\otimes \mathrm{d}\theta + \sin^2\theta\ \mathrm{d}\phi\otimes \mathrm{d}\phi \right)
$$

e interpretada como una métrica propia de un agujero de gusano. Así, en el espacio-tiempo \(4\)-dimensional descrito por las variables \(\tau\), \(u\), \(\theta\) y \(\phi\), encontramos un hiperplano \(r = 2m\) que divide las regiones \(u > 0\) and \(u < 0\) y juega por tanto el papel de «puente», véase [1] para más detalles.

Por otro lado, la métrica del agujero de gusano de Morris-Thorne está dada en coordenadas esféricas por la igualdad siguiente, donde \(k\) es una constante:
$$
g = – c^2 \mathrm{d}t \otimes \mathrm{d}t + \mathrm{d}r\otimes \mathrm{d}r + (k^2 + r^2)
\left(\mathrm{d}\theta\otimes \mathrm{d}\theta + \sin^2\theta\ \mathrm{d}\phi\otimes \mathrm{d}\phi \right) .
$$

Es posible representar (por ejemplo) las secciones \(\theta = \pi/2\), \(t = \hbox{Const.}\), mediante una técnica de inmersión. La idea es la siguiente:

• En coordenadas polares \((\rho,\phi)\), una superficie de revolución \(z = z(\rho)\) en \({\bf R}^3\) tiene asociada la métrica $$g_z = \left( 1 + |z_\rho|^2 \right) \mathrm{d}\rho\otimes\mathrm{d}\rho + \rho^2 \mathrm{d}\phi\otimes \mathrm{d}\phi .$$
• Para \(\theta = \pi/2\), \(t = \hbox{Const.}\), la métrica de Morris-Thorne con \(\rho^2 = k^2 + r^2\) se reduce a $$g_{\rm MT} = \left( 1 – k^2/\rho^2 \right)^{-1} \mathrm{d}\rho\otimes\mathrm{d}\rho + \rho^2 \mathrm{d}\phi\otimes \mathrm{d}\phi .$$

Comparando ambas expresiones e imponiendo \(z(k) = 0\), obtenemos la función
$$z(\rho) = \pm k \log \left( \frac{1}{k}\left(\rho + \sqrt{ \rho^2 – k^2 }\right) \right), \ \ \rho \geq k,$$

que ha sido visualizada en la Fig. 1.

Para saber más

1. D.-Ch. Dai, D. Stojkovic, Observing a wormhole, Phys. Rev. D 100, 083513, Published 10 October 2019.
2. A. Einstein, N. Rosen, The particle problem in the General Theory of Relativity, Physical Review 48, 73 (1935).
3. S.W. Hawkings, How to Build a Time Machine, Daily Mail Online, April 2010.
4. M.S. Morris, K.S. Thorne, Wormholes in spacetime and their use for interstellar travel: a tool for teaching general relativity, Amer. J. of Physics 56, 395 (1988).
5. T. Müller, Visual appearance of a Morris-Thorne-Wormhole, August 2004, American Journal of Physics 72 (8).
6. R.H. Price, General relativity primer, American Journal of Physics, 50: 300-329.