Delantal:
La última quincena propusimos a nuestros estimados lectores una actividad muy barata, sin mucha dificultad y que se podía hacer en cualquier hogar (otro asunto es que hubiera cubos apilables o no). En cambio esta quincena, para compensar, vamos a hablar de algo que incumple en mayor o menor medida todos los criterios anteriores: el trapecio volante.
Concebido originariamente como un aparato gimnástico, como las barras paralelas o las anillas, el trapecio fue un objeto usado recurrentemente en el circo desde sus orígenes en el siglo XVIII. Quien le proporcionó la estética (y la dificultad) del movimiento fue el francés Jules Léotard (de quien los leotardos toman el nombre, por cierto). Además del aparato en sí, podemos encontrar muchas más matemáticas al analizar la coordinación de los movimientos, la geometría de los saltos y vuelos, el equilibrio de las fuerzas… Por si el divertimento se hace corto, proponemos este número para empezar a practicar (la mirada matemática, se entiende).
Divertimento:
Dados dos enteros positivos \(a\) y \(b\), son muy conocidas las relaciones existentes entre sus distintas medias pitagóricas (aritmética, geométrica y armónica) y su media cuadrática, y son conocidas también distintas construcciones (esta, por ejemplo) en las que, dados dos segmentos de longitudes \(a\) y \(b\), dibujan segmentos que tienen por longitud dichas medias, y que hacen intuitivas las relaciones que mencionábamos antes. Recordamos que dichas medias se definen respectivamente como
$$m_a=\frac{a+b}{2},\,m_g=\sqrt{ab},\,m_h=\frac{2ab}{a+b}\, \text{y}\, m_c=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}},$$
teniéndose siempre que \(m_h\leq m_g\leq m_a\leq m_c\).
En este divertimento consideramos las bases de un trapecio cualquiera, de longtiudes \(b\) y \(B\), y proponemos:
- Probar que el segmento paralelo a las bases por el punto de corte de las diagonales del trapecio es la media armónica de \(b\) y \(B\).
- Hallar la relación que debe haber entre las longitudes de las bases para que el segmento paralelo a las mismas que mida la media aritmética de \(b\) y \(B\) divida al trapecio en otros dos, teniendo uno de los cuales el doble de área que el otro.
- Hallar la relación que debe haber entre las longitudes de las bases para que el segmento paralelo a las mismas que mida la media cuadrática de \(b\) y \(B\) divida al trapecio en dos trapecios de igual área.
Solución:
Envía tus soluciones, hasta el domingo 10 de mayo, a la dirección ‘divertimentos-blog-imus(arroba)us.es’. La solución aparecerá el miércoles 13 de mayo. Recuerda no dejar pistas en los comentarios hasta que no se publique la solución del problema.
Estaba dibujando el primer apartado y creo que se necesita que el trapecio sea rectángulo. ¿Pudiera ser?
Error manejando el GeoGebra!!
En el tercer apartado supongo que se refiere a dividir al trapecio en dos trapecios de igual área, no iguales.
En el caso de igualdad se trataría de un paralelogramo y la relación es uno. De hecho pensándolo bien igual área implica ser paralelogramo pues en caso contrario por la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica este segmento quedaría mas cerca del lado menor que el segmento cuya longitud es la media aritmética el cuál deja al paralelogramo que contiene al lado menor con menor área que el que contiene al lado mayor. Incluso más sencillo, por semejanza igual área implica iguales y esto implica paralelogramo directamente. ¿Me equivoco?
Hola de nuevo, Jaime:
En la primera frase no te equivocas, en las dos siguientes sí. Si movemos el segmento paralelo de una base a otra obtenemos dos trapecios distintos cuyas áreas pasan de ser cero a la del trapecio original y viceversa. Por el teorema del valor intermedio, en algún momento serán iguales (y no depende de cómo sea el trapecio).
Me da la sensación de que estás asumiendo que partes de un paralelogramo y no de un trapecio.
Tienes razón, me he equivocado; estaba trabajando con la media geométrica en lugar de la cuadrática, pero creo que el argumento para la media geométrica que he planteado es correcto aunque no sea lo que pida el enunciado.
En la primera afirmación lo que hacía era, como tú dices, mover el segmento paralelo a las bases; pero como trataba con la geométrica este iba desde la base de lado menor hasta la paralela con longitud media aritmética, pues $m_a \geq m_g$, y no hasta la otra base. Es fácil ver que este segmento está exactamente la mitad y de ahí se sigue que igualar las medias es condición necesaria y al hacerlo y obtenía el paraleogramo y veía que además era suficiente.
Pero claro, como trabajamos con la cuadrática tenemos $m_c \geq m_a$ y aquí si que aplicando tu argumento desde el segmento paralelo a las bases con la media aritmética a la base mayor vemos que siempre hay solución independientemente de las bases.
La segunda afirmación de que si dos figuras en el plano son semejantes y tienen el mismo área entonces son la misma, en el sentido de que existe un movimiento de rotación y traslación que lleva la una en la otra, si que creo que es correcta, quizá me ha faltado mencionar que el corte paralelo a las bases divide a al trapecio en dos trapecios semejantes al primero.
Vale, fallo mio, es que en la segunda afirmación estoy usando que las figuras son semejantes y esto solo ocurre si el corte es justamente por la mitad. Me he hecho un lio.
De hecho no, ocurre con la paralela de longitud la media geométrica. Estoy mareando un rato al personal.
Un poco sí, jeje. Eso sí, los dos que resulten serán semejantes entre ellos pero no al original, ¿no?
En cualquier caso, después de aclarar qué ocurre con la media geométrica, ahora solo te faltan las otras tres. Eso mejor nos lo mandas por correo :-).
Sí, Jaime, gracias por el aviso. Ya está corregido.