Solución: Casas numeradas

Publicamos la solución al divertimento de las casas numeradas. Gracias a Jaime Benabent, Gustavo Roque Collado, Rafa González, Adrián Macías, Antonio Navas y Cristóbal Sánchez-Rubio por las soluciones que nos han enviado.

Divertimento:

La conversación entre dos matemáticos que intercambian las direcciones de sus domicilios se desarrolla como sigue:

—¿Cuál es el número de tu casa?

—En mi calle las casas están numeradas correlativamente, del número uno en adelante. Resulta que los números de las casas a un lado de la mía suman la misma cantidad que los números de las casas al otro lado. ¡Qué coincidencia!

—Con esa información no puedo determinar el número —responde rápidamente el otro—. Dime al menos cuántas casas hay, ¿no?

—Es que no me acuerdo de cuántas son. Las conté hace tiempo. No sé… entre doscientas y trescientas.

¿Es posible determinar el número de la casa?

Solución:

Supongamos que hay \(N\) casas en total y que el número de la casa es \(n\). Los números menores que \(n\) suman
$$1+\ldots+(n-1)=\frac{(n-1)n}{2},$$
mientras que los mayores que \(n\) suman
$$(n+1) + \ldots + N = (1+\ldots + N) – (1+\ldots + n) = \frac{N(N+1)}{2}-\frac{n(n+1)}{2}.$$
Por tanto,
$$\frac{(n-1)n}{2} = \frac{N(N+1)}{2}-\frac{n(n+1)}{2},$$
de donde se deduce la igualdad
$$n^2 = \frac{N(N+1)}{2}.$$

A partir de aquí se abren varios caminos para hallar \(n\) y \(N\), que son respectivamente \(204\) y \(288\). Desde luego un camino es usar fuerza bruta (humana o computacional), como han hecho algunos lectores. Aunque no era nuestra idea, no lo descartamos explícitamente en el enunciado del divertimento y son por tanto soluciones totalmente válidas. Sin embargo, a continuación describiremos otros dos métodos más conceptuales.

Como \(N\) y \(N+1\) son primos entre sí, se tiene que o bien \(N/2\) y \(N+1\) son cuadrados, o bien \(N\) y \((N+1)/2\) son cuadrados.

• Si \(N/2\) y \(N+1\) son cuadrados, como \(200 \leq N \leq 300\), tenemos que \(N+1\) debe ser \(15^2=225\), \(16^2=256\) o \(17^2=289\), y solo en el último caso, \(N+1=289\), obtenemos que \(N/2=144\) es un cuadrado.
• Análogamente, si \(N\) y \((N+1)/2\) son cuadrados, tenemos que \(N\) debe ser \(15^2=225\), \(16^2=256\) o \(17^2=289\). En ninguno de estos casos \((N+1)/2\) es un cuadrado, así que nos quedamos con lo que obtuvimos en el punto anterior.

Otro camino es resolver la ecuación de segundo grado
$$n^2 = \frac{N(N+1)}{2}$$
en \(N\) en función de \(n\), llegando a que
$$N=\frac{-1 \pm \sqrt{1+8n^2}}{2}.$$
Para que esto tenga sentido debemos imponer que el discriminante sea un cuadrado (impar), es decir, \(1+8n^2=y^2\), que es una ecuación de Pell.

Para resolver dicha ecuación nos podemos centrar en una más simple de la forma \(y^2-2m^2=1\), tomando \(m=2n\). Por tanto, las soluciones cuya segunda componente es par nos darán una solución a nuestro problema, siempre y cuando impongamos también que \(400\leq m=2n\leq 600\). Todas las soluciones positivas \((y_k,m_k)\in\mathbb{Z}_{>0}^2\) se generan de la primera no trivial (llamada fundamental), \((y_1,m_1)=(3,2)\), tomando

$$y_k+m_k\sqrt{2}=(3+2\sqrt{2})^k.$$

(Nótese que \(2\sqrt{2}=\sqrt{8}\); para resolver la ecuación original basta tomar \((y_1,m_1)=(3,1)\).) De todos esos pares, solo el cuarto tiene \(m_k\) entre \(400\) y \(600\). Concretamente, \((y_4,m_4)=(577,408)\). Por tanto, \(n=204\) y \(N=288\).

Una última posibilidad, digamos una búsqueda por fuerza bruta algo más refinada, usa un importante recurso de internet, la Enciclopedia en Línea de Sucesiones Enteras (OEIS, de sus siglas en inglés). Como \(n^2=N (N+1)/2\), se deduce que el número triangular \(N(N+1)/2\) es un cuadrado. Los números triangulares que son cuadrados son \(0\), \(1\), \(36\), \(1225\), \(41616\), \(1413721\), \(48024900\), \(1631432881\), \(55420693056\),… (sucesión A001110 en la OEIS). Únicamente con \(n^2=41616=204^2\) se obtiene un valor de \(N\) entre \(200\) y \(300\), que es \(N=288\).