El número 1729 cobró vida propia en la más célebre de entre las anécdotas que pespuntean la relación entre Hardy y Ramanujan. Así es como Hardy la contó en el obituario que publicó tras la muerte de Ramanujan en 1920: «Ramanujan podía recordar las idiosincrasias de números de una forma casi extraordinaria. Fue Littlewood (creo) quien dijo que cada entero positivo era amigo personal de Ramanujan. Recuerdo haberle visitado una vez estando enfermo en Putney. Me había montado en un taxi con matrícula 1729, y me quejé de que ese número fuera tan anodino y esperaba que no eso no fuera mal presagio. “No”, contestó Ramanujan, “ese es número muy interesante. Es el menor número que puede ser escrito de dos formas diferentes como suma de dos cubos”»\(.\)
Hemos de señalar que Hardy tenía por costumbre jugar con los números que se iba encontrando por por azar en el día a día. Hardy la practicaba desde pequeño cuando, aburrido en la iglesia, le daba por factorizar el número de cada salmo que la congregación cantaba.
Volviendo al número 1729. Si el lector tiene a mano una calculadora, e incluso sin ella, podrá comprobar sin esfuerzo que
$$ 1729=9^3+10^3=1^3+12^3. $$
Lo que ya no es tan sencillo es ver que ese número es el más pequeño con esa curiosa propiedad. Lo cierto es que Ramanujan ya había jugado mucho antes con ese número, pues aparece escrito en la página 221 de su segundo cuaderno.
Ramanujan no fue, sin embargo, el primero en fijarse en el número 1729. El jurista francés Pierre de Fermat, el mejor matemático aficionado que nunca haya existido, se carteó con matemáticos franceses e ingleses a mediados del siglo XVII sobre posibles números que se pudieran escribir de dos formas distintas como suma de dos cubos, y el número 1729 aparece en esa correspondencia.
Usando el número de Ramanujan se puede formar un cuadrado mágico de tamaño 4×4 todos cuyos elementos son cubos ―algo que, de saberlo, habría hecho sin duda las delicias del genio indio―:
| 163 | 203 | 183 | 1923 |
| 1803 | 813 | 903 | 153 |
| 1083 | 1353 | 1503 | 93 |
| 23 | 1603 | 1443 | 243 |
Si el lector tiene suficiente paciencia podrá comprobar que, si en esa tabla sumamos en vertical, horizontal o diagonal, se obtiene siempre el mismo valor; por ejemplo, para la primera fila y columna se tiene:
$$ 16^3+20^3+18^3+192^3=4096+8000+5832+7007888=7095816,$$
$$ 16^3+180^3+108^3+2^3=4096+5832000+1259712+8=7095816.$$
Ese número, 7.095.816, es divisible por el número de Ramanujan:
$$ 7.095.816=1729\times 4104.$$
«¿Y cuál será el número más pequeño que se puede expresar de dos formas distintas como suma de dos potencias cuartas?», le preguntó Hardy a Ramanujan en esa misma visita; después de pensarlo, Ramanujan no supo contestar aunque en su opinión debía ser un número muy grande. El número en cuestión es el 635.318.657, y había sido encontrado por Leonhard Euler en el siglo XVIII:
$$635.318.657=59^4+158^4=133^4+134^4.$$
Referencias
G.H. Hardy, Srinivasa Ramanujan, Proc. London Math. Soc., s2-19 (1): xl–lviii, 1921.
Antonio J. Durán, El ojo de Shiva, el sueño de Mahoma, Simbad… y los números, Destino, Barcelona, 2012.
Muchas gracias por ayudar a comprender el mágico mundo de los números, en especial el número 1729 de Ramanujan y (Hardy). Saludos desde Lima Perú.
Excelente artículo sobre la naturaleza sistémica de los números. En el libro EL CEREBRO MATEMÁTICO de Stanislas Dehaene se afirma que los números se incorporan a las neuronas por RECICLAJE, adaptación de las neuronas a nuevas funciones. Por ejemplo, las neuronas visuales pasan de reconocer objetos y rostros a letras y números. Estamos haciendo un pequeño documental sobre La mente del matemático que será publicado en el canal LA PSICOLOGÍA DEL FUTURO. Saludos desde Lima Perú.
Éxito con tu publicación, la buscaré… saludos desde Monterrey, México!
Pero las sumas de las diagonales no da lo mismo.