Matemáticas e incendios forestales

Generalidades sobre los incendios

Denominaremos incendio a toda aparición de fuego no controlada y no deseada. Los incendios pueden afectar a seres vivos y a objetos de cualquier tipo y pueden producir daños muy graves, en muchos casos irreparables.

El fuego ha estado presente en la literatura desde hace mucho tiempo. Por ejemplo, aparece con relevancia en Los inocentes en el país del oro, de Mark Twain (1835-1910), y, mucho más recientemente, con protagonismo central en El Fuego Callado (Caligrama 2019), de Félix Romero Cañizares; para una recopilación de textos, véase [1]. También ha sido parte fundamental del argumento de muchas películas. Por ejemplo, Lo que el viento se llevó (1939), ganadora de 8 Oscars y la muy interesante Fahrenheit 451 (1966), que fueron antes novelas; más recientemente, encontramos Malditos bastardos (2009) y Lo que arde (2019), premio del Jurado en Cannes.

Los incendios pueden ser de distinto tipo, atendiendo a las propiedades físicas del combustible:

• Clase A: Fuegos de materiales sólidos de naturaleza orgánica: madera, tejidos, papel, etc.
• Clase B: Fuegos de líquidos o sólidos licuables: petróleo, gasolina, pintura, ceras, etc.
• Clase C: Motivados por gases inflamables: gas natural, hidrógeno, propano, etc.
• Clase D: Producidos por metales combustibles: sodio, magnesio, potasio, etc.
• Clase E: Relacionados con aceites.

Estos últimos son especialmente difíciles de extinguir debido a las altas temperaturas que alcanzan.

Uno de los incendios más famosos de la Historia tuvo lugar en Roma, el año 64 d.C., en tiempos de Nerón. Ha sido objeto de muchas especulaciones; de hecho, se ha dicho con frecuencia que fue el propio emperador quien lo provocó. Sin embargo, se sabe desde hace algún tiempo que Nerón ordenó a su ejército labores de extinción.

Junto con éste, podemos citar los de la Biblioteca de Alejandría (48 a.C.), la ciudad de Londres (1666), San Francisco (1906), Australia (2009) y California (2020).

Los incendios forestales

En la lista de incendios que precede, los dos últimos son forestales. Señalemos algunos datos:

• En Australia quedaron destruidos más de 750 hogares y más de 1300 personas perdieron la vida. Tras una profunda investigación, la policía declaró que, al menos en parte, había sido provocado intencionadamente.

• En California nos estamos refiriendo al mayor incendio forestal de la Historia: 400000 Ha quemadas, unas 1300 casas destruidas y un enorme daño medioambiental para la zona.

Los incendios forestales se caracterizan por su gran extensión, la velocidad con la que avanzan, los repentinos cambios de dirección y la capacidad para superar obstáculos. En ellos el fuego se suele extender sin control, afectando a todo tipo de seres vivos.

Para hacernos una idea de la magnitud del peligro que suele rodear a un incendio forestal y de la tarea que supone apagarlo, he incluido aquí el testimonio de Pascual Gil Muñoz, ingeniero especializado en incendios y jefe del Servicio de Uso Público del Medio Natural del Cabildo de Tenerife: «Año 2005. Pidieron refuerzos en un incendio en El Hierro. Salimos de la base de La Guancha y cuando llegamos nos encontramos un incendio casi extinguido, humeando y el viento en calma. Tomamos tierra y nos mandaron a rematar un flanco. Cuando estábamos allí, se reavivó por la cola, el viento cambió de dirección y lo que era cola se convirtió en cabeza. Había un helicóptero en el suelo, que se había estropeado. El incendio avanzó hacia él y explotó, quedó totalmente disuelto en el suelo. A nuestra retaguardia oímos la explosión y vimos unas llamas de 40 m. Teníamos que escapar y evacuar un montón de cuadrillas de gente muy joven y ahora sin tener ni idea de cuál era la zona segura. El incendio, que ocupaba 200 Ha, acabó quemando 4000 ó 5000.»

En un incendio forestal, se suelen distinguir tres fases: la iniciación (que puede deberse a causas naturales o a la acción humana), la propagación y la extinción (que también puede ser debida a causas naturales como la lluvia a la acción humana).

Casi siempre, el incendio es apagado antes de volverse fuera de control. Sin embargo, en algunos casos, la extinción es muy difícil sin cambios favorables en las condiciones atmosféricas. De hecho, hay dos maneras de «atacar» al fuego: directamente (actuando sobre el material en combustión) o con medios indirectos (preparando el terreno y las condiciones ambientales generalmente antes de la llegada del fuego; por ejemplo, improvisando cortafuegos o empapando combustibles aún no quemados).

Un modelo matemático

Para que tenga lugar un incendio, es preciso que se combinen tres elementos: la existencia de combustible, la presencia de oxígeno y la acción del calor o energía de activación.

A continuación, me referiré a un sistema de ecuaciones cuyas soluciones permiten describir el comportamiento del fuego en un incendio forestal típico. El modelo ha sido deducido y resuelto por un grupo de investigadores de la Universidad de Salamanca; véase la herramienta PhyFire en [2]. Las variables de interés son: las densidades de combustible sólido y gaseoso, respectivamente \(y_s\) e \(y_g\); la densidad de oxígeno \(y_O\); la temperatura \(Q\) y la velocidad del aire \(U\) en la región determinada por el suelo afectado hasta una altura dada.

El dominio espacial que se considera es \(D = \{ (x_1,x_2,x_3) : (x_1,x_2) \in G, \ \ h(x_1,x_2) < x_3 < \delta \}\) donde \(G\) es una región bi-dimensional (la proyección sobre un plano horizontal del terreno) y \(h\) es la altura o «cota» del terreno. Pretendemos saber cómo evoluciona el sistema para instantes de tiempo \(t \in (0,T)\).

En el modelo, aceptando que las dimensiones horizontales del recinto son mucho mayores que la altura a la que el incendio actúa, las variables están dadas como sigue:

En primer lugar, \(Q = q(x_1,x_2) (\delta – x_3)/(\delta – h(x_1,x_2))\), donde \(q\) es la temperatura del suelo.

Por otra parte, \(U = (V_1,V_2,V_3)\), con \(V_i = \mathcal{L}_i(q, v_m, h)\) (\(i=1,2,3\)), donde \(v_m = v_m(x_1,x_2,t)\) es la velocidad del viento (que suponemos conocida, horizontal e independiente de \(x_3\)). Las \(\mathcal{L}_i\) son aplicaciones que permiten calcular «instantáneamente» las componentes de la velocidad del aire a partir del gradiente de la temperatura del suelo, la velocidad del viento y la cota.

Finalmente, \(y_s\), \(y_g\), \(y_O\) y \(q\) son funciones de \(x_1\), \(x_2\) y \(t\). Constituyen la solución de un sistema no lineal de EDPs de evolución (con términos de convección, difusión y reacción) donde aparece como dato \(v := (V_1,V_2)|_{x_3 = h(x_1,x_2)}\), junto con condiciones iniciales y de contorno adecuadas.

Los detalles están dados en [3]. Allí se indica que el modelado de la combustión se basa en los resultados de [4] y la convección (es decir, la determinación de \(V\)) reposa sobre los argumentos de [5]. Una característica importante de la EDP satisfecha por \(q\) es la presencia de un término de difusión de la forma
$$
– \sum_{i=1}^2 \partial_i \left( \kappa_q q^3 \partial_i q \right), \ \hbox{ con } \ \kappa_q > 0;
$$
esto corresponde a la llamada aproximación de Weber, véase [6].

Una manera de resolver el sistema satisfecho por estas variables en condiciones realistas y así poder determinar la evolución de un incendio (aunque sea de modo aproximado) está descrito con detalle en [3]. Esencialmente, el método consiste en discretizar en tiempo y, en cada etapa temporal, (a) calcular los valores de \(y_s\), \(y_g\), \(y_O\) y \(q\) correspondientes a valores inmediatamente anteriores de \(v\); (b) actualizar los valores de \(V_i\) y \(v\). De este modo, se consiguen resultados que muestran el avance de los combustibles sólido y gaseoso. A título de ejemplo, véase en las Figuras 4 a 7 la evolución de la temperatura en una simulación numérica, con viento constante de izquierda a derecha.

Una cuestión de gran interés que aún no ha sido analizada en profundidad es la siguiente: ¿cómo podemos controlar este sistema desde la frontera de la zona incendiada? Es decir, ¿sobre qué datos que aparecen en las ecuaciones podríamos trabajar de manera que el fuego se reduzca en espacio y tiempo tanto como sea posible?

Para saber más

1. https://osbodigital.es/2019/05/21/el-fuego-y-los-incendios-en-la-literatura/
2. https://sinumcc.usal.es

3. M.I. Asensio, L. Ferragut, J. Simon, «Modelling of convective phenomena in forest fire», Rev. R. Acad. Cien. Serie A, Mat. Vol. 96 (3), 2002, pp. 299-313.

4. M.I. Asensio, L. Ferragut, «On a wildland fire model with radiation», Int. J. Numer. Meth. Engng. 2002; 54:137-157.

5. D. Bresch, J. Lemoine, J. Simon, «Nonstationary models for shallow lakes», Asympt. Anal., 22, 15-38.

6. R.O. Weber, «Towards a comprenensive wildfire spread model», Int. J. of Wildland Fire, 1 (4), 247-248.