En estos tiempos de pandemia que vivimos, viene a cuento recordar un problema matemático cuyos orígenes quiere la tradición situar en otra peste. Concretamente la que vivió Grecia allá por el siglo V a. C. y que posiblemente le costara la vida a Pericles. En los momentos más dramáticos de aquella pandemia, una delegación solicitó al oráculo de Apolo en Delos cómo se podría poner fin a la peste que estaba diezmando la población; la curiosa respuesta fue que había que duplicar el altar cúbico dedicado a aquel dios: «Cuando el dios anunció a la gente de Delos por medio del oráculo que para acabar con la plaga debían construir un altar de tamaño doble del que existía –escribió Theon de Esmirna unos siglos después–, cayeron en gran perplejidad, tratando de encontrar la forma en que un sólido podía ser duplicado, yendo a preguntar a Platón sobre el problema. Él les dijo que el dios había dado esta respuesta no porque quisiera un altar de tamaño doble, sino porque él deseaba, al presentar este problema ante ellos, reprochar a los griegos su negligencia con las matemáticas y su menosprecio de la geometría». Platón tenía razón, si es que Platón realmente dijo tal cosa, pues los mayores éxitos matemáticos de los griegos fueron posteriores a sus grandes éxitos en filosofía, política, literatura, escultura o arquitectura –Euclides, Arquímedes o Apolonio fueron posteriores a Sócrates, Platón, Aristóteles, Pericles o Fidias–.
El problema de la duplicación de un cubo fue uno de los secretos que más fascinaron a los griegos. En concreto hubo tres problemas que se convirtieron en objeto de deseo para ellos y, aunque no los llegaron a resolver, motivaron una parte importante de sus descubrimientos geométricos; por todo ello se los llamó «los tres problemas clásicos de la matemática griega», y consistían en idear construcciones con regla y compás para (1) cuadrar el círculo, (2) duplicar del cubo y (3) trisecar un ángulo. A estos tres también se unió el problema de la construcción mediante regla y compás de polígonos regulares. Hay que insistir en que lo que hace a los tres problemas clásicos tan difíciles de resolver –en realidad imposibles– es respetar la norma de que sólo se puede usar regla y compás. De otra forma, los problemas admiten soluciones más o menos ingeniosas y, de hecho, los griegos encontraron bastantes. Como acabo de escribir, los tres problemas clásicos son (en general) imposibles de resolver, y lo mismo ocurre con la construcción de polígonos regulares, salvo que su número de lados sea de una forma muy particular –tal y como describiré más adelante–. Pero demostrarlo llevó más de dos mil años, y la solución vino del álgebra, no de la geometría. Ahí reside buena parte de la magia de las matemáticas: partes aparentemente desconectadas están unidas de forma tan intensa como profunda, de manera que un problema evidentemente geométrico, como estas particulares construcciones con regla y compás, puede requerir técnicas puramente algebraicas para ser resuelto.
Aparte de su origen más o menos mitológico, la duplicación del cubo fue un paso natural tras los primeros logros de la matemática griega. Por ejemplo, una aplicación sencilla del teorema de Pitágoras dice que la diagonal de un cuadrado viene a resolver el problema de duplicarlo; de forma parecida se puede ver que la diagonal de un cubo sirve, no para duplicar el cubo, sino para triplicar el área del cuadrado que es cara del cubo. ¿Cómo, entonces, se podría duplicar el volumen de un cubo?
Las curvas más importantes del mundo griego, las cónicas, surgieron, en parte, para dar respuesta al problema de la duplicación del cubo. La duplicación del cubo es equivalente al de la construcción de dos medias proporcionales, o sea: dados dos números positivos \(a\) y \(b\) con \(a<b\), insertar entre ellos \(x\) e \(y\), \(x<y\), de manera que \(\frac{a}{x}=\frac{x}{y}=\frac{y}{b}\). Esto último da
$$ x^2=ay, y^2=bx, xy=ab,$$
de donde \(x^3=a^2b\); tomando \(a=d, b=2d\), se tiene \(x^3=2d^3\), de manera que \(x\) es la longitud del lado del cubo cuyo volumen es el doble del cubo de lado \(d\). Ahora bien, las ecuaciones $$ x^2=ay, y^2=bx, xy=ab,$$
corresponden con las de dos parábolas y una hipérbola, respectivamente, de manera que el problema de la duplicación del cubo se puede resolver en términos de la intersección de cónicas (esto fue descubierto por Menecmo, un matemático griego que vivió en el siglo IV a.C. y del que se cuenta, quizá con escaso fundamento, que fue tutor de Alejandro Magno; naturalmente, Menecmo no usó la simbología anterior, ni tampoco la nomenclatura de parábola o hipérbola, términos que acuñaría Apolonio algo más de un siglo después).
La imposibilidad de duplicar un cubo usando regla y compás se acabó demostrando en el siglo XIX: ¡unos dos milenios largos después de que fuera propuesto el problema! Aunque la imposibilidad no la demostró Gauss, la solución lleva el sello de su genialidad.
Las construcciones con regla y compás pueden describirse en términos algebraicos: requieren intersecciones de rectas, rectas y circunferencias, o dos circunferencias, lo que equivale algebraicamente a la resolución de sistemas de dos ecuaciones lineales, lineal y cuadrático o, dos ecuaciones cuadráticas. Por tanto, en la descripción de las coordenadas de los puntos del plano que se pueden construir con regla y compas sólo pueden intervenir las operaciones de la aritmética –sumas, productos y divisiones– y las raíces cuadradas. Por ejemplo, el punto de coordenadas \(\left(\frac{\sqrt 5}{4}-\frac{1}{4},\frac{\sqrt 2\sqrt{5+\sqrt 5}}{4}\right)\) se puede construir con regla y compás; si uno tiene la paciencia de multiplicar el número complejo que representa ese punto cinco veces por sí mismo obtendrá como resultado 1; eso quiere decir que ese número complejo es una raíz de la ecuación \(x^5-1\), y, por tanto, uno de los vértices de un pentágono regular inscrito en la circunferencia de radio 1, lo que nos asegura que, como ya sabían los griegos, el pentágono regular se puede construir con regla y compás.
El resultado estrella de la sección VII de las Disquisitiones Arithmeticae (1801) de Gauss demuestra que siempre se puede construir, con regla y compás, un polígono regular de \(n\) lados cuando
$$n=2^np_1p_2\cdots p_k,$$
donde \(p_1,p_2,\cdots ,p_k\), son números primos de Fermat distintos –esto es, números primos de la forma \(2^{2^m}+1\)–. Para ello, Gauss mostró que las soluciones de \(x^p-1\), \(p\) primo, son expresiones racionales de soluciones de ecuaciones cuyos grados son los divisores primos de \(p-1\), y cuyos coeficientes son expresiones racionales de las soluciones de las ecuaciones precedentes, que acaban también siendo resolubles por radicales. Cuando el primo \(p\) tiene la forma \(2^{2^m}+1\), todas las ecuaciones consideradas tienen grado 2, y por tanto las soluciones de \(x^p-1\) se pueden expresar iterando operaciones aritméticas y raíces cuadradas, y son por tanto construibles con regla y compás. Gauss señaló también, aunque sin demostrarlo –«los límites de este trabajo excluyen esta demostración aquí»–, que esa forma particular del número n no es sólo suficiente sino también necesaria.
Y, como aplicación, Gauss mostró la forma en que puede ser construido un polígono de 17 lados –\(2^{2^2}+1\) lados–. Para darle solera y prestancia a su construcción, Gauss añadió: «Es ciertamente atónito que, aunque la divisibilidad geométrica de una circunferencia en 3 y 5 partes fuera ya conocida en el tiempo de Euclides, nada fuera añadido a este descubrimiento en 2.000 años. Y que todos los geómetras hayan afirmado que, excepto para este número de partes y las que se derivan directamente de ellas, no hay otras que puedan ser geométricamente construidas». Según reza en el diario de Gauss, hizo su descubrimiento el 30 de marzo de 1796; tenía entonces 19 años (en un programa de la serie Universo Matemático, producido por TVE y presentado por Antonio Pérez Sanz, se puede ver la construcción de Gauss; es fácil encontrarlo en internet, por ejemplo aquí).
El matemático francés Pierre Wantzel (1814-1848) demostró en 1837 que, efectivamente, la condición de Gauss es también necesaria para la construcción de polígonos regulares de n lados. En ese mismo artículo, Wantzel demostró la imposibilidad de dos de los tres venerables problemas que tanto habían interesado a los griegos: la duplicación del cubo y la trisección del ángulo. Wantzel, siguiendo a Gauss, trabajó con lo que ahora llamamos cuerpos de extensión. Las coordenadas de un número que se puede construir con regla y compás forman una torre donde en cada piso sólo hay operaciones aritméticas y eventualmente una raíz cuadrada de los elementos de los pisos precedentes; si formamos con esos pisos cuerpos de extensión –añadiendo la raíz cuadrada de los elementos precedentes, si la hubiere–, se obtendrá finalmente una extensión cuyo grado con respecto al cuerpo de partida, los racionales en este caso, será necesariamente una potencia de 2. Ahora bien, la ecuación asociada a la duplicación del cubo es \(x^3-2=0\), que es irreducible –no se puede factorizar en polinomios de menor grado con coeficientes racionales–. Por tanto, el cuerpo que se obtiene añadiendo a los racionales \(\sqrt[3]{2}\) tiene orden 3, que no es una potencia de 2, por lo tanto, no se puede duplicar el cubo con regla y compás. Wantzel también mostró que algo parecido ocurre con la trisección del ángulo.
La demostración de la imposibilidad de cuadrar el círculo tardó todavía medio siglo en lograrse. La ecuación asociada al problema es \(x^2-\pi=0\), pero no sirve pues sus coeficientes no son números racionales –la irracionalidad de \(\pi\) la había demostrado Johann Lambert en 1761–. De manera que para poder aplicar los argumentos anteriores había primero que dilucidar si había un polinomio con coeficientes enteros del que \(\pi\) fuera raíz. Los números que satisfacen esa condición se llaman algebraicos, y los que no trascendentes. La trascendencia de e la demostró Hermite en 1873 y, siguiendo su estela, la de \(\pi\) la demostró Ferdinand Lindemann (1852-1939) en 1882. De ahí se sigue la imposibilidad de cuadrar el círculo.
Referencias
A.J. Durán, Crónicas matemáticas, Crítica, Barcelona, 2018.
Dejar una contestacion