Esta entrada se refiere a uno de los siete Problemas del Milenio, formulados el año 2000, cuya resolución se premia con un millón de dólares: análisis de la existencia de solución «clásica» de las ecuaciones de Navier-Stokes.
Las ecuaciones:
El objetivo que hay detrás es describir el comportamiento de un fluido newtoniano. Para situarnos, debemos aceptar que el fluido está constituido por partículas que avanzan transportadas por un campo de velocidades, se «empujan» o presionan y rozan o friccionan unas con otras. En la versión más sencilla, se supone que la densidad de masa es constante (digamos \(\rho_0\)) y el estado mecánico del fluido está determinado en todo punto \(\mathbf{x} = (x_1,x_2,x_3) \in \mathbf{R}^3\) y en todo instante de tiempo \(t \geq 0\) por los valores del campo de velocidades \(\mathbf{u} = \mathbf{u}(\mathbf{x},t)\) (de componentes \(u_1\), \(u_2\) y \(u_3\)) y la presión \(p = p(\mathbf{x},t)\).
Estas funciones han de verificar las ecuaciones en derivadas parciales (deducidas por Navier y Stokes)
$$
\left\{
\begin{array}{l} \displaystyle
\rho_0 \left( \partial_t u_i + \sum_{j=1}^3 u_j \partial_j u_i \right)
– \mu \sum_{j=1}^3 \partial_j^2 u_i + \partial_i p = \rho_0 f_i, \quad i=1,2,3,
\\ \displaystyle
\sum_{j=1}^3 \partial_j u_j = 0 .
\end{array}
\right.
$$
Abreviadamente, escribimos
$$
\rho_0 \left( \mathbf{u}_t + (\mathbf{u} \cdot \nabla)\mathbf{u} \right) – \mu \Delta\mathbf{u} + \nabla p = \rho_0 \mathbf{f},
\quad \nabla \cdot \mathbf{u} = 0 .
$$
Las ecuaciones deben ser complementadas con condiciones iniciales y «condiciones en el infinito» para \(\mathbf{u}\):
$$
\mathbf{u}|_{t=0} = \mathbf{u}_0, \quad \mathbf{u} \to 0 \ \hbox{ cuando } |\mathbf{x}| \to +\infty.
$$
Aquí, \(\mu > 0\) es la viscosidad dinámica y \(\mathbf{f} = \mathbf{f}(\mathbf{x},t)\) y \(\mathbf{u}_0 = \mathbf{u}_0(\mathbf{x})\) son funciones dadas, que se interpretan respectivamente como un campo externo de fuerzas y un campo inicial de velocidades.
Las ecuaciones nos dicen que (1) a lo largo de sus trayectorias, la aceleración que sufren las partículas es proporcional a la resultante de las fuerzas que actúan sobre ellas (de acuerdo con la famosa ley de Newton) y (2) el volumen ocupado por un conjunto de partículas no cambia en el tiempo.
Es más realista imponer las ecuaciones en un cilindro \(\Omega \times \mathbf{R}_+\), donde \(\Omega \subset \mathbf{R}^3\) es un abierto conexo. Por ejemplo, \(\Omega\) puede representar el interior de una tubería, el exterior a un obstáculo, el cauce de un río, etc. En estos casos, la condición «en el infinito» precedente debe lógicamente ser reemplazada por una información adicional para \(\mathbf{u}\) sobre \(\partial\Omega \times \mathbf{R}_+\) (es decir, una condición de contorno). Sin embargo, muchos autores prefieren trabajar en \(\mathbf{R}^3 \times \mathbf{R}_+\); de este modo, las técnicas del Análisis Armónico y en particular la transformada de Fourier tienen cabida y es esperable que puedan ayudar a comprender la situación.
La historia de las ecuaciones es larga. Tenemos importantes antecedentes:
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En las civilizaciones antiguas, el interés por comprender el comportamiento de los fluidos estuvo asociado, entre otras cosas, a la navegación o al aprovechamiento del riego. Arquímedes (285-212 A.C.) formuló el Principio que lleva su nombre y lo aplicó a problemas de flotación.
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En el Renacimiento, Leonardo da Vinci (1452-1519) formuló la ley de conservación de la masa para fluidos estacionarios uni-dimensionales. Realizó además varios experimentos ingeniosos con los que confirmaba esta ley.
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En el siglo XVII encontramos el primer túnel de viento, diseñado, construido y utilizado con provecho por E. Mariotte (1620-1684).
En la deducción de las ecuaciones, los pasos iniciales se debieron a I. Newton (1642-1727), el primero en postular que las partículas de un fluido real interaccionan con fuerzas de fricción que son proporcionales a las variaciones en espacio de las velocidades. Por esta razón, hablamos de fluidos newtonianos; en el sistema indicado más arriba, el término que da cuenta de las fuerzas de fricción es \(– \mu \Delta\mathbf{u}\).
Encontramos después la contribución de L. Euler (1707-1783), el primero en usar ecuaciones en derivadas parciales como herramienta para describir el comportamiento de un fluido. Eso sí, Euler consideró fluidos ideales, esto es, eliminó en su análisis las fuerzas de rozamiento. En otras palabras, tomó \(\mu = 0\), llegando de este modo a las ecuaciones que llevan su nombre.
La formulación completa y definitiva llegó tras las contribuciones independientes de C.H. Navier (1785-1836) y G. Stokes (1819-1903), que añadieron a las ecuaciones de Euler el término viscoso.
Multitud de fenómenos naturales e industriales pueden ser comprendidos e incluso descritos a partir de las soluciones de este sistema: en Aeronáutica, determinan el comportamiento del aire en torno a un objeto y detrás de él; obviamente, también juegan un papel fundamental en el contexto náutico; en Meteorología, \(\mathbf{u}\) y sobre todo \(p\) pueden ser cruciales para prevenir borrascas y anticiclones; el desarrollo y los beneficios de muchos procesos industriales dependen en gran medida de los valores de las incógnitas a lo largo de un período de tiempo, etc.
El millón de dólares:
El Clay Mathematics Institute (https://www.claymath.org) es una fundación sin ánimo de lucro con sede en Cambridge (Massachusetts, EEUU) cuyo principal objetivo es promover el conocimiento matemático. Fue fundado en 1998 por el magnate Landon T. Clay (1926-2017) y el matemático Arthur Jaffe (n. en 1937), de la Universidad de Harvard.
Landon Clay no era matemático. Ni siquiera puede decirse que cultivara afición a la resolución de problemas matemáticos simples. Sin embargo, siempre apreció la belleza e importancia de las ideas matemáticas y fue consciente del papel que pueden jugar en el desarrollo de la humanidad. Por su parte, Jaffe es sobre todo conocido por haber fundado, junto a James Glimm, la denominada teoría constructiva de campos cuánticos. En este marco, su mejor logro fue probar la existencia de campos cuánticos relativistas en dimensiones 2 y 3.
El Clay Mathematics Institute alberga un gran número de actividades. Es especialmente conocido por haber propuesto en el año 2000 una famosa lista de siete problemas, conocidos como los «Problemas del Milenio». Se supone y espera que estos problemas marquen una buena parte de la actividad matemática en el presente y futuro inmediato.
Uno de los Problemas del Milenio, enunciado por Ch. Fefferman en [1], consiste en probar una de las dos afirmaciones siguientes: (a) con \(\mathbf{f} = 0\), dada \(\mathbf{u}_0\) de clase \(C^\infty\), soporte compacto y divergencia nula, existe una solución \((\mathbf{u},p)\) del problema de Navier-Stokes, también de clase \(C^\infty\), definida para todo \(\mathbf{x} \in \mathbf{R}^3\) y todo \(t > 0\); (b) existen \(\mathbf{f}\) y \(\mathbf{u}_0\) de clase \(C^\infty\) (\(\mathbf{u}_0\) de soporte compacto y divergencia nula) tales que el sistema no posee solución de clase \(C^\infty\) para todo \(t > 0\).
He aquí algunas respuestas parciales:
\(\bullet\) Cuando \(\mathbf{f} = 0\) y \(\mathbf{u}_0\) es suficientemente pequeña (en un sentido apropiado), el apartado (a) posee respuesta positiva; véase [2].
\(\bullet\) Cuando se consideran fluidos bidimensionales (esto es, con todos los datos y variables por ejemplo independientes de \(x_3\)), es también posible responder afirmativamente al apartado (a).
\(\bullet\) En condiciones generales, es posible demostrar la existencia de una solución «débil», también llamada «solución a la Leray», definida para todo \(\mathbf{x} \in \mathbf{R}^3\) y todo \(t > 0\), que es \(C^\infty\) para valores «pequeños» de \(t\), es decir, para \(0 < t < T_*\), donde \(T_*\) depende de la talla de \(\mathbf{u}_0\) y de \(\mu/\rho_0\); véase [2,3]. Dicho en términos algo imprecisos, una solución débil de las ecuaciones de Navier-Stokes es un par \((\mathbf{u},p)\) tal que, cuando uno multiplica los términos de la izquierda y la derecha por funciones arbitrarias, obtiene expresiones cuyos promedios en \(\mathbf{x}\) y en \(t\) coinciden. Se desconoce si existen soluciones débiles que pierden regularidad en tiempo finito.
\(\bullet\) Es también posible demostrar la existencia de soluciones débiles admisibles, también llamadas adecuadas («suitable» en inglés), caracterizadas por verificar desigualdades de energía locales, ver [4, 5]. Estas soluciones son regulares, es decir, de clase \(C^\infty\) salvo en un conjunto pequeño de puntos \((\mathbf{x},t)\) (concretamente, un conjunto de medida de Hausdorff unidimensional nula).
\(\bullet\) Por el contrario, existen ecuaciones «muy similares» pero distintas
$$
\rho_0 (\mathbf{u}_t + B(\mathbf{u},\nabla\mathbf{u})) – \mu \Delta\mathbf{u} + \nabla p = \rho_0 \mathbf{f},
\quad \nabla \cdot \mathbf{u} = 0,
$$
donde (como antes) \(B(\cdot\,,\cdot)\) es bilineal, para las cuales el apartado (b) posee respuesta correcta; véase [6]. Este resultado, un tanto sorprendente, da una idea de la dificultad del problema.
En la segunda parte de esta entrada, hablaremos de las distintas estrategias y técnicas que se han aplicado recientemente con el objetivo de acercarnos a la resolución del problema. También profundizaremos en los aspectos aplicados que motivan y permiten interpretar los resultados perseguidos.
Para saber más:
La formulación completa del Problema del Milenio que nos ocupa aparece en
[1] Ch. Fefferman, https://www.claymath.org/sites/default/files/navierstokes.pdf.
Un resultado clásico que muestra que, cuando el dato inicial es pequeño, el problema de Navier-Stokes posee solución única es el célebre Teorema de Fujita-Kato. Ha sido revisitado con frecuencia y fue formulado originalmente en
[2] H. Fujita, T. Kato, On the Navier-Stokes initial value problem. I, Arch. Rational Mech. Anal. 16 (1964), 269-315.
Los primeros resultados teóricos y, en particular, la definición y propiedades de la solución débil se deben a J. Leray. No mucho más se sabe desde que fue publicado su trabajo (de hecho, Leray utilizó erróneamente la denominación «solución turbulenta»):
[3] J. Leray, Sur le mouvement d’un liquide visqueux emplissant l’espace, Acta Math. 63 (1934), no. 1, 193-248.
Los mejores resultados de regularidad obtenidos hasta la fecha se han conseguido en los trabajos que siguen, donde se habla de soluciones débiles admisibles:
[4] L. Caffarelli, R. Kohn, L. Nirenberg, Partial regularity of suitable weak solutions of the Navier-Stokes equations, Comm. Pure & Appl. Math. 35 (1982), 771-831.
[5] F. H. Lin, A new proof of the Caffarelli-Kohn-Nirenberg theorem, Comm. Pure. & Appl. Math. 51 (1998), 241-257.
Finalmente, tenemos el trabajo de Tao, que fue capaz de formular unas ecuaciones muy similares en apariencia a las ecuaciones de Navier-Stokes (aunque sin significado físico claro), para las que la existencia global de solución clásica no es cierta en general:
[6] T. Tao, Finite time blowup for an averaged three-dimensional Navier-Stokes equation, J. Amer. Math. Soc. 29 (2016), no. 3, 601-674.
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