Publicamos la solución al divertimento de las butacas del teatro. Gracias a Jaime Benabent, Marcos Jiménez y Manuel Zambrana y Antonio Navas por las soluciones que nos han enviado.
Divertimento:
Teo y Dora, fanáticos del teatro y que no se conocían, fueron durante veinte días a ver una obra que se representaba. La platea del teatro al que fueron tiene 30 filas y en cada fila hay 28 asientos. Se pregunta cuál es la probabilidad de que se sentasen juntos uno al lado del otro solamente una vez, en un día concreto, y al menos una vez en todo el periodo de representación, en los dos siguientes supuestos:
a) La platea del teatro no está dividida por pasillo alguno.
b) La platea está dividida en dos, derecha e izquierda, por un pasillo central.
Solución:
La platea del teatro tiene \(\begin{pmatrix} 30\cdot 28\\2\end{pmatrix}=352380\) pares de butacas, de las cuales solo algunos estarán formados por butacas contiguas. La cantidad de estos últimos variará si hay o no un pasillo en el patio.
En general, si llamamos \(p\) a la probabilidad de que Teo y Dora se sienten juntos un día concreto (aislándolo del resto de representaciones), la probabilidad de que no se sienten juntos será \(1-p\), y por tanto, la de que coincidan al lado al menos una vez durante los veinte días en los que se representa la obra será \(q=1-(1-p)^{20}\). En lo que sigue calcularemos \(p\) y \(q\) en ambos supuestos.
a) En este caso cada fila tiene \(27\) pares de butacas contiguas, por lo que hay \(30\cdot 27\) en total en todo el teatro, y en general,
$$p=\frac{30\cdot27}{352380}=\frac{27}{11746}\simeq 0,\!0023,$$
y por tanto, \(q=1-(1-p)^{20}\simeq 0,\!045\).
b) En este supuesto el pasillo nos quita un par de butacas contiguas, así que
$$p=\frac{30\cdot26}{352380}=\frac{13}{5873}\simeq 0,\!0022,$$
y así, \(q\simeq 0,\!04335\).
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