Publicamos la solución al divertimento Poliedro con 2020 caras. En esta ocasión, Jaime Benabent, Marcos Jiménez y Manuel Zambrana y Antonio Navas han propuesto una solución correcta.
Divertimento:
¿Existe un poliedro convexo con 2020 caras con forma de paralelogramos?
Solución:
El poliedro no existe. Llamamos bucle de longitud \(k\) a una sucesión de parejas de caras \((C_1,C_2), (C_2,C_3), \ldots , (C_k,C_1)\), de modo que cada pareja de caras tenga una arista común, y todas las aristas comunes sean paralelas.
Como las caras tienen forma de paralelogramo, dos bucles distintos tienen en común exactamente dos caras, y cada cara pertenece exactamente a dos bucles distintos. Si el poliedro contiene \(n\) bucles, como hay \(n(n-1)/2\) parejas de bucles, entonces
$$
2020 = 2 \cdot \frac{n(n-1)}{2}.
$$
Pero la ecuación \(2020=n(n-1)\) no tiene soluciones enteras.
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