Solución: ecuación exponencial

Publicamos la solución al divertimento de la ecuación exponencial. Gracias a Jaime Benabent, Juan Miguel Expósito, Marcos Jiménez y Manuel Zambrana y Antonio Navas por las soluciones que nos han enviado.

Divertimento:

Es bien conocido que existe una jerarquía establecida por convenio entre las operaciones algebraicas de modo que cuando aparece un cálculo de números ligados por esas operaciones, las cuentas hay que hacerlas en un cierto orden. Ese orden se altera introduciendo paréntesis, de modo que primero se efectúan estos, luego las potencias, después los productos y cocientes y por último las sumas y restas.

Cuando una operación, por ejemplo la potenciación, no tiene la propiedad asociativa, el orden de las operaciones debe indicarse colocando paréntesis. Así, no hay ambigüedad en \((2^3)^2=64\) o \(2^{(3^2)}=512\), mientras que podría haber confusión en una expresión como \(2^{3^2}\).

En este divertimento planteamos las ecuaciones

$$(x^x)^2=b,\qquad x^{(x^2)}=b,\qquad b>1,$$

y preguntamos que se discuta según el valor de \(b\), cuál de las soluciones positivas de las dos ecuaciones es mayor.

Solución:

Tomando logaritmos en ambas ecuaciones, es equivalente resolver
$$\hspace{-2.5cm}(1)\qquad\qquad 2x\log x=\log b,\qquad x^2\log x=\log b.$$
Como \(b>1\), se tiene que \(\log b>0\). Por tanto, ya que \(x>0\) resulta que si las ecuaciones tienen una solución \(x_0\), debe cumplirse que \(\log x_0>0\), y por tanto, debemos considerarlas solo cuando \(x>1\).

En el intervalo \((1,\infty)\), las funciones \(f(x):=2x\log x\) y \(g(x):=x^2\log x\) son estrictamente crecientes por ser el producto de dos funciones estrictamente crecientes y positivas. Por otro lado, ambas tienden a infinito cuando \(x\to\infty\) y verifican que \(f(1)=g(1)=0\), con lo que recorrerán cualquier valor del intervalo \((0,\infty)\) y así, todas las ecuaciones \((1)\) tendrán una única solución cada una.

Además, como \(f(x)/g(x)=2/x\), resulta que
$$\left\{\begin{array}{ll} f(x)>g(x) &\text{ si } 1<x<2,\\ f(x)=g(x)&\text{ si } x=2,\\ f(x)<g(x)& \text{ si }2<x.\end{array}\right.$$
Como para \(x=2\) se tiene que \(f(2)=g(2)=4\log 2\), llamando \(x_f\) y \(x_g\) a las soluciones respectivas de las ecuaciones \((1)\), tendremos que
$$\left\{\begin{array}{ll}x_f<x_g& \text{ si } b<16,\\ x_f=x_g& \text{ si } b=16,\\x_f>x_g& \text{ si } b>16.\end{array}\right.$$