Solución: Un problema de edades

Publicamos la solución al divertimento Un problema de edades. Gracias a Marcos Jiménez y Manuel Zambrana, Antonio Navas Orozco y F. Damián Aranda Ballesteros por las soluciones que nos han hecho llegar.

Divertimento:

Después de algún tiempo sin verse, Alberto y Manolo se encuentran en la calle y hablan de sus edades. Cuando tú tengas mi edad -dice Manolo- yo tendré el doble de la que tú tenías cuando yo tenía tu edad.

Años más tarde vuelven a encontrarse y comenta ahora Alberto: Manolo, si a tu edad le pudiéramos añadir un año, lo que me dijiste en nuestro último encuentro se seguiría manteniendo. Es verdad -contesta Manolo- y además, mi edad sería un número capicúa.

¿Cuál era la edad de cada uno el año de su primer encuentro y cuántos años tardaron en volver a verse?

Solución:

Solución propuesta por Marcos Jiménez y Manuel Zambrana.

Denotemos por \(x\) e \(y\) las edades de Alberto y Manolo, respectivamente, la primera vez que se encuentran. De la conversación entre ambos es evidente que \(y > x\). Por una parte, Alberto tendrá la edad de Manolo transcurridos \(y − x\) años desde el encuentro, momento en que la edad de Manolo será \(y + (y − x) = 2y − x\). Por otra parte, Manolo tenía la edad de Alberto \(y − x\) años antes de encontrarse, momento en que la edad de Alberto era \(x − (y − x) = 2x − y\). Según afirma Manolo, \(2y − x = 2(2x − y)\), o lo que es lo mismo, $$5x − 4y = 0 \qquad (1)$$

Denotemos por \(d\) el número de años que transcurren hasta que los dos amigos se vuelven a encontrar, momento en que Alberto tiene edad real \(x+d\) y Manolo edad ficticia (edad real aumentada en una unidad) \(y + d + 1\). De la afirmación de Alberto se sigue que estas dos edades también son soluciones de (1). Sustituyendo, tenemos $$ 5x − 4y + (d − 4) = 0 \qquad (2)$$

La compatibilidad de (1) y (2) se tiene sólo si \(d = 4\). Por otro lado, las soluciones naturales de (1) son \(x = 4n\) e \(y = 5n\), con \(n\) natural. Entonces, las sustituciones \(y = 5n\) y \(d = 4\) hacen que la edad ficticia de Manolo se escriba \(5(n + 1)\), que es un número capicúa (y en el rango de edades humanas) sólo si \(n = 10\). Y de aquí, \(x = 40, y = 50\).