Publicamos la solución al divertimento Envolver un regalo. En esta ocasión, Juan Miguel Expósito y Marcos Jiménez y Manuel Zambrana han propuesto soluciones acertadas.
Divertimento:
Disponemos de un papel de regalo cuadrado, de lado igual a un metro. ¿Cuál es el tamaño de la mayor caja cúbica que podemos envolver sin cortarlo?
Solución:
Comenzamos observando que la distancia entre puntos sobre la superficie del regalo envuelto es menor o igual que sobre el papel antes de envolver el regalo, pues pueden aparecer caminos nuevos.
Sea \(A\) el centro del cuadrado del papel. Envolvemos el regalo, y sea \(B\) el punto del papel que es simétrico de \(A\) respecto al centro del cubo. Sea \(d\) la distancia de \(A\) a \(B\) sobre el papel. Si la longitud de la arista del cubo es \(x\), entonces la distancia de \(A\) a \(B\) sobre el regalo envuelto es al menos \(2x\). Por tanto, $$2x \leq d \leq \sqrt{2}/2,$$ de donde \(x \leq \sqrt{2}/4\).
Por otra parte, el máximo \(x=\sqrt{2}/4\) se puede alcanzar, como se ve en la figura:
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