Publicamos la solución al divertimento Mover una cifra. Gracias a F. Damián Aranda, Juan Miguel Expósito, Marcos Jiménez y Manuel Zambrana, Javier Masip, José Antonio Mayor, José Riquelme y Cristóbal Sánchez-Rubio por las soluciones que nos han enviado.
Divertimento:
La última cifra de un número es 2. Si se mueve esa cifra al primer lugar, el número pasa a ser el doble. ¿De qué número se trata?
Solución:
Sea \(N\) el número, y \(n\) el número de cifras de \(N\). Se tiene que
$$
\frac{N-2}{10} + 2 \cdot 10^{n-1} = 2N,
$$
es decir,
$$
19N=2(10^n – 1).
$$
Por tanto, \(19 | 10^n – 1\). Por el Pequeño Teorema de Fermat, esto se tiene si \(18|n\). Por otro lado, \(10^n\not\equiv 1\) módulo \(19\) para cualquier otro valor de \(n\) menor que \(18\) (de hecho basta probarlo para los divisores de \(18\); \(1\), \(2\), \(3\), \(6\) y \(9\)), así que la condición anterior también es necesaria.
El número sería de la forma
$$
N_k=\frac{2(10^{18k}-1)}{19}, \qquad k \in \mathbb{N}.
$$
El desarrollo decimal de \(2/19\) tiene exactamente 18 cifras periódicas y es igual a
$$
\frac{2}{19} = 0.\overparen{105263157894736842} = \frac{105263157894736842}{999999999999999999}.
$$
Por otra parte, el desarrollo decimal de \(10^{18k}-1\) es igual a \(18k\) nueves consecutivos.
Se deduce que los números que cumplen la condición propuesta son
\begin{equation*}\begin{split}
N_1 & = \frac{2(10^{18 \cdot 1}-1)}{19} = 105263157894736842 \\
N_2 & = \frac{2(10^{18 \cdot 2}-1)}{19} = 105263157894736842 \, 105263157894736842 \\
N_3 & = \frac{2(10^{18 \cdot 3}-1)}{19} = 105263157894736842 \, 105263157894736842 \, 105263157894736842 \\
\vdots
\end{split}\end{equation*}
Es decir, los números que se obtienen por repetición de las cifras \(105263157894736842\).
Una solución no analítica sino solo «operativa»:
1. Sea N el número buscado, y M = 2.N. Como N =a b c ….p 2 (a, b, c,.. p son cifras del número), y M = 2.N = 2 a b c…. p, con lo que tanto M como N tienen el mismo número de cifras.
2. Como la primera cifra de M es 2, entonces la primera cifra de N es 1 (si no, al multiplicar N pr 2, no podría dar 2.)
3. Al multiplicar la última cifra de N, o sea 2 por 2 entonces p = 4, y tenemos N = 1 b c…4 2, y M = 2 1 b c …. 4.
4. N acaba en 4 2, y al multiplicar por 2, M acaba en 8 4, luego N = 1 b c …. 8 4
5. Si seguimos así, habida cuenta que al multiplicar 8 por 2 dará 16, y la cifra que ponemos será 6 y me llevo 1 para la siguiente, obtendremos así cifras de N hasta llegar al 1 de la primera cifra de N.
6, El proceso es largo, porque efectivamente las cifras son 105263157894736842
7, Y ahora un nuevo divertimenro. Si en el problema inicial cambiamos 2 por 3, ¿hay solución? Es decir «un número acaba en 3, y cuando ese 3 lo pasamos al principio resulta ser el triple del número inicial. ¿Cual es ese número?».
8. Y para divertirse más: ¿Qué pasa si lo hacemos con otras cifras, 4, 5, …9, 0.?