En varias entradas anteriores hemos descrito como evolucionó una parte de la Física, la relacionada con el mundo microscópico de los átomos, sus espectros, etc. Quizá los dos resultados más sorprendentes que hemos visto han sido los de Einstein asegurando que la luz no solo se comportaba como una onda sino también como una partícula, recuperando la teoría corpuscular newtoniana (ver AQUÍ y AQUÍ), y de De Broglie asegurando que las partículas (en especial los electrones) se comportaban también como ondas estableciendo lo que se conoce como dualidad onda-partícula (ver AQUÍ). Aunque este último “descubrimiento” de De Broglie daba cierta justificación física a la “extraña” teoría de Bohr sobre los átomos (el modelo atómico de Bohr lo discutimos AQUÍ), quedaban demasiados interrogantes. De hecho el propio Bohr era consciente de ello, por lo que todos esperaban que apareciera una teoría que fuese capaz de arrojar algo de luz sobre el problema. Lo curioso de esta historia es que aparecieron casi al mismo tiempo dos teorías (¡no una, amigo lector, sino dos!): la Mecánica matricial de Heisenberg (desarrollada luego por Heisenberg, Born y Jordan) y la Mecánica ondulatoria de Schrödinger. En esta entrada vamos a discutir brevemente la génesis de la segunda de las dos teorías que a la larga ha sido la que ha prevalecido.
Si quisiésemos ser rigurosos con la historia habría que dedicar mucho espacio a explicar como Schrödinger, prácticamente un desconocido, fue capaz de encontrar (o descubrir, como prefiera el lector) la ecuación por la que se rigen el mundo microscópico (no relativista). Nosotros nos limitaremos a dar unas pinceladas para mostrar que, si bien si hasta ahora las matemáticas habían sido importantes para entender ese mundo cuántico, con Schrödinger se convirtieron en esenciales. Una historia pormenorizada y amena de la vida de Schrödinger se puede consultar en el magnífico libro de Jesus Navarrro “Schrödinger: Una ecuación y un gato”, publicado por Nivola en 2009.
Antes de describir la historia de cómo Schrödinger “descubrió” su ecuación vale la pena mencionar algunas de las peculiaridades del personaje. Erwin Schrödinger nació en el seno de una familia acomodada vienesa. Su educación formal comenzó en la secundaria (Gymnasium), hasta entonces fue educado “en casa” como la mayoría de los niños de las familias acomodadas de Viena. Fue su padre quien le inculcó el interés por la ciencia y cultura en general, tal es así que a Erwin no solo le interesaban las ciencias, sino también el latín y el griego, era un entusiasta de la filosofía griega y le encantaba escribir poesía. En 1906 se matricula en la Universidad de Viena para estudiar física y matemáticas (tras descartar dedicarse a la poesía, pues según le contó a un periodista inglés años más tarde, eso no le daría para comer, lo que no le impidió dedicar parte de su tiempo a escribir poesía, sobre todo para seducir a mujeres ya que era un mujeriego empedernido). En 1910 terminó sus estudios y en 1914 consiguió la habilitación que le permitiría ocupar una plaza de profesor. Entre 1911 y 1914 escribió varios artículos, sobre todo experimentales, pero en 1914 decidió que lo suyo no eran los experimentos. Por desgracia en el verano de 1914 se desató la Primera Guerra Mundial y Schrödinger fue llamado a filas como oficial. Un dato curioso es que durante todo el periodo de guerra fue capaz de escribir varios artículos científicos cubriendo muchos temas de actualidad del momento. Terminada la guerra no le quedó más remedio que quedarse (muy a su pesar como él mismo diría) en el Instituto de Física de Viena y dedicarse a la Física (afortunadamente, ya que su intención era dedicarse a la Filosofía). Tras varios periplos, terminó en la Universidad de Zúrich, donde se incorporó en 1922. Fue allí donde desarrolló la teoría que le granjearía el respeto de la comunidad científica, el premio Nobel de Física, y finalmente que entrara en la Historia.
¿Qué fue lo que consiguió Schrödinger? Pues encontrar una ecuación que explicara, entre otras cosas, el espectro del átomo de hidrógeno del que ya hablamos aquí. Una historia muy bien documentada la expone Sánchez Ron en su magnífica monografía «Historia de la física cuántica». Curiosamente hay un relato muy concreto que cuenta como Schrödinger, quien según sus propias palabras nunca había seguido una linea principal de investigación y sus trabajos estaban inspirados para contradecir o corregir, llegó a descubrir una de las ecuaciones matemáticas más importantes, la que hoy lleva su nombre, y que describe con gran precisión el mundo subatómico.
La historia es como sigue. A finales del año 1925 tenía lugar un seminario conjunto entre los físicos de la Escuela Politécnica de Zúrich (ETH), dirigidos por Peter Debye (premio Nobel de química en 1936), y los de la Universidad de Zúrich, entre los que se encontraba Schrödinger, donde se discutían resultados recientes del área. Fue en uno de esos encuentros donde se desencadenó todo. Pero dejemos que sea Felix Bloch (premio Nobel de física en 1952), estudiante de la ETH por aquellos tiempos quien nos lo cuente:
Una vez, al final de un coloquio, escuché a Debye decir algo como: «Schrödinger, ya que no estás trabajando en problemas muy importantes ahora mismo, ¿por qué no nos cuentas en algún momento sobre esa tesis de De Broglie, que parece haber atraído algo de atención?». Entonces, en uno de los siguientes coloquios, Schrödinger dio un relato maravillosamente claro de cómo De Broglie asoció una onda con una partícula y cómo pudo obtener las reglas de cuantificación de Niels Bohr y Sommerfeld al exigir que se ajustara un número entero de ondas a lo largo de una órbita estacionaria.
Cuando terminó, Debye comentó casualmente que pensaba que esta forma de hablar era bastante infantil. Como estudiante de Sommerfeld, había aprendido que, para manejar adecuadamente las ondas, era necesario tener una ecuación de ondas. Sonaba bastante trivial y no pareció causar una gran impresión, pero evidentemente Schrödinger pensó un poco más en la idea después.
Apenas unas semanas más tarde dio otra charla en el coloquio que comenzó diciendo: «Mi colega Debye sugirió que uno debería tener una ecuación de onda; bueno, ¡he encontrado una!» Y luego nos contó esencialmente lo que estaba a punto de publicar bajo el título «Cuantización como problema de valor propio» como primer artículo de una serie en Annalen der Physik. Yo todavía estaba demasiado verde para apreciar realmente el significado de esta charla, pero por la reacción general de la audiencia me di cuenta de que había sucedido algo bastante importante, y no necesito decirles qué ha significado el nombre de Schrödinger a partir de entonces.
Parece ser que en las navidades de ese año Schrödinger se fue de vacaciones a Arosa (Suiza), donde solía ir a menudo debido a su tuberculosis, y allí dio son su famosa ecuación tal y como le cuenta en una carta al físico W. Wien, fechada el 27 de diciembre de 1925, con quien mantenía una intensa comunicación epistolar. En esa carta le escribe que ha encontrado un modelo cuyas “autofrecuencias” se corresponden con las del átomo de hidrógeno, y que dicho modelo estaba construido de forma razonablemente natural y no mediante suposiciones ad hoc y que en breve le haría llegar los resultados, pero antes tenía que aprender las matemáticas necesarias para lidiar con la ecuación diferencial que había encontrado.
Wien era en esos momentos el editor de la prestigiosa revista Annalen der Physik y, efectivamente, el 27 de enero de 1926 se recibía en la redacción de los Annalen der Physik un artículo firmado por Schrödinger titulado “Quantisierung als Eigenwertproblem” (“La cuantización como un problema de autovalores”), el primero de una serie de cuatro en donde Schrödinger sentó las bases de lo que hoy conocemos como Mecánica cuántica ondulatoria. En él, Schrödinger escribía la ecuación (estacionaria) que modelaba el átomo de hidrógeno (no relativista) y que luego llevaría su nombre:
$$\Delta \psi + \frac{8\pi^2 m}{h^2}\left( E+\frac{e^2}{r}\right)\psi=0,$$
donde \(\Delta\) es el operador laplaciano, que en coordenadas cartesianas se escribe
$$\Delta\psi=\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \psi}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 \psi}{\partial z^2},$$
y obtenía para los niveles de energía \(E\) del hidrógeno los valores
$$E_l=-\frac{2\pi^2 me^4}{h^2 l^2},$$
donde \(h\) es la constante de Planck y \(l\) es el número cuántico principal. Es decir, recuperaba la misteriosa fórmula de Bohr de la que ya hablamos en una entrada anterior. Todo parecía encajar a excepción de una cosa: ¿qué significado físico tenía la función \(\psi(x,y,z)\)?
Consciente de ese problema, Schrödinger escribe que, por el momento, no tiene intención de darle una explicación, y que prefiere dejarlo tal cual, pues evidencia lo que para él es esencial: que «el postulado de los “números enteros” ya no entra de manera misteriosa en las reglas cuánticas sino que hemos dado un paso más allá en la identificación de su origen, encontrando que “entericidad” tiene su origen en finitud y unicidad de cierto espacio de funciones»; y sigue afirmando «no quiero seguir discutiendo las posibles representaciones del proceso de vibraciones hasta que no se hayan calculado con éxito otros casos más complicados desde este nuevo punto de vista». Eso fue lo que hizo en sucesivos artículos, donde ya escribía la ecuación para otros sistemas físicos en la forma que conocemos hoy día. En particular, en el cuarto artículo de la serie introdujo la ecuación dependiente del tiempo (ecuación no estacionaria), donde ahora \(\psi\) es una función que también depende de t:
$$- \frac{h^2}{8m\pi^2} \Delta \psi +V(x,y,z) \psi= \frac{i h}{2\pi} \frac{\partial \psi}{\partial t} , \quad i=\sqrt{-1},$$
de donde se deducía que, en general, la función \(\psi\) era una función compleja. Eso era algo que también le preocupaba a Schrödinger, y lo menciona al final de dicho artículo, expresando que espera que el estado del sistema pueda escribirse finalmente en términos de una función real y su derivada temporal (algo que desgraciadamente no iba a ser posible en general, como puso de manifiesto Max Born poco tiempo después).
El éxito de la ecuación de Schrödinger fue enorme, recibió casi al instante el apoyó de Einstein, que afirmó que «[Schrödinger] ha realizado un avance decisivo con su formulación de la condición cuántica …», o de Planck, que leyó sus artículos «igual que un niño curioso escucha con suspense la solución de un rompecabezas que le ha preocupado durante mucho tiempo». De hecho, Planck fue más allá y convenció a las autoridades universitarias berlinesas que le ofrecieran a Schrödinger la cátedra que él iba a dejar vacante tras su próxima jubilación, a donde se incorporó como profesor el 1 de octubre de 1927 hasta que dimitió durante las vacaciones de 1933, el mismo año que recibió el premio Nobel, y no regresó a Berlín por su desagrado ante el auge del nazismo.
A partir de ahí, su vida fue todo un periplo. En noviembre de 1933 ocupó un puesto de profesor en Oxford, donde vivió hasta que aceptó un puesto en Graz, su Austria natal en 1936, que dejó cuando Hitler anexionó Austria a Alemania en 1938. Su huida de Austria es como una película de terror y eso que Schrödinger no era judío, ¿qué habría pasado si lo hubiese sido? Finalmente, a expensas del primer ministro de Irlanda, Éamon de Valera, en 1940 se le nombró director de la sección de física teórica del Instituto de Estudios Avanzados de Dublín, Irlanda, donde permaneció hasta 1956, cuando regresó con su esposa a su Viena natal tras 36 años de exilio. Murió en Viena a los 73 años por tuberculosis. Como dato curioso cabe destacar que Schrödinger y Einstein comparten el «mérito» de ser los únicos científicos cuyos nombres fueron borrados de todas las instituciones científicas alemanas durante el régimen nazi.
Pero volviendo a la contribución de Schrödinger, ¿gracias a la mecánica cuántica ondulatoria se había por fin disuelto la dichosa segunda nubecilla que Lord Kelvin mencionó en su famosa conferencia de 1900? En honor a la verdad, todavía quedaba mucho camino por recorrer, y entender el significado de la función de onda \(\psi\) de Schrödinger desencadenó una de las mayores polémicas de la ciencia como consecuencia de la interpretación que de ella dio Max Born, otro de los grandes físicos que ya mencionamos antes, pero eso es otra historia que merece la pena ser contada, y lo haremos en una entrada posterior.
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