Solución: Distancias por carretera

Publicamos la solución al divertimento Distancias por carretera. En esta ocasión, F. Damián Aranda, Juan Miguel Expósito, Marcos Jiménez y Manuel Zambrana, Julio Ojeda Infantes y Jorge Santoro han enviado soluciones acertadas al problema propuesto.

Divertimento:

Dos personas que viajan en un coche ven una señal informativa que indica la distancia a la que están dos ciudades que se encuentran en aquella misma carretera. Dichas distancias vienen dadas por dos números menores que 100 formados por los mismos dos dígitos, es decir, cambiando el orden de los mismos. Al cabo de un rato encuentran otra señal en la que las distancias verifican lo mismo, una tercera vez vuelve a suceder igual y una cuarta vez vuelve a suceder lo mismo. A la quinta vez que encuentran la señal, ya la distancia a la ciudad más cercana tiene un solo dígito y la distancia a la más lejana es todavía más de la mitad de la que había cuando vieron la primera señal ¿Qué números ponían las sucesivas señales?

Solución:

Sea A la primera ciudad, que se encuentra a distancia \(x\) de la primera señal, y sea B la segunda ciudad, que se encuentra a distancia \(y\) de A. Al llegar a la primera señal, las indicaciones del problema indican que

$$x=10a+b, \qquad x+y=10b+a,$$

siendo a y b los dígitos, de donde

$$ y=9(b-a), \qquad b>a. $$

Cuando se llega a una señal posterior, si es \(k\) la distancia entre ambas señales, se verifica que

$$ x-k=10c+d, \qquad x+y-k=10d+c, $$

y, por tanto, que

$$ y=9(d-c), \qquad d>c. $$

De las dos expresiones se obtiene que

$$ k=x-10c-d=10a+b-10c-(b-a+c)=11(a-c). $$

Así, la distancia entre señales es múltiplo de \(11\). Podemos distinguir varios casos:

Caso 1. La distancia entre las cuatros señales es 11 km. Entonces, la distancia entre la primera señal y la última es 44 km, y ya que la distancia desde la última señal a A tiene solo un dígito, \(44<x<53\), y como \(a<b\), los valores de \(x\) pueden ser \(45\), \(46\), \(47\), \(48\) y \(49\). Los correspondientes valores de \(y\) serían \(9\), \(18\), \(27\), \(36\) y \(45\). Y las distancias del automóvil a la segunda ciudad en la primera señal \(x+y\) y en la última \(x+y-44\) son, respectivamente,

$$
\begin{array}{cccccl}
x+y & 54 & 64 & 74 & 84 & 94 \\
x+y-44 & 10& 20& 30& 40& 50.
\end{array}
$$

Caso 2. La distancia entre señales es 11 km en tres ocasiones y 22 km en la otra. Entonces, la distancia entre la primera señal y la última es 55, por tanto \(55<x<64\) y los posibles valores de \(x\) son \(56\), \(57\), \(58\) y \(59\). Los correspondientes valores de y son \(9\), \(18\), \(27\) y \(36\). Y las distancias del automóvil a la segunda ciudad en la primera señal \(x+y\) y en la última \(x+y-55\) son, respectivamente,

$$
\begin{array}{ccccl}
x+y & 65 & 75 & 85 & 95 \\
x+y-55 & 10& 20& 30& 40.
\end{array}
$$

Caso 3. La distancia entre señales es 11 km en dos ocasiones y 22 km en las otras dos. Entonces, \(66<x<75\) y los posibles valores de \(x\) son \(67\), \(68\) y \(69\). Los correspondientes valores de \(y\) son \(9\), \(18\) y \(27\). Y las distancias del automóvil a la segunda ciudad al principio \(x+y\) y al final \(x+y-66\) son, respectivamente,

$$
\begin{array}{cccl}
x+y &  76 & 86 & 96 \\
x+y-66 & 10& 20& 30.
\end{array}
$$

Caso 4. La distancia entre señales es 11 km en una ocasión y 22 km en las otras tres. Entonces, \(77<x<86\) y los posibles valores de \(x\) son \(78\) y \(79\). Los correspondientes valores de \(y\) son \(9\) y \(18\). Y las distancias del automóvil a la segunda ciudad al principio \(x+y\) y al final \(x+y-77\) son, respectivamente,

$$
\begin{array}{ccl}
x+y &  87 & 97 \\
x+y-77 & 10& 20.
\end{array}
$$

Caso 5. La distancia entre cada una de las señales es 22 km. Entonces, \(88<x<97\) y el único posible valor de \(x\) es \(89\) y el de \(y\) es \(9\). Y las distancias son

$$
\begin{array}{cl}
x+y &  98 \\
x+y-88 & 10.
\end{array}
$$

Cualquier otro caso en el que la distancia entre alguna señal sea otro múltiplo de \(11\), se reduce a alguno de los anteriores. Y como puede comprobarse, hay una única posibilidad en que la distancia a la ciudad B sea al final más de la mitad que al principio: es cuando \(x=49, y=45\), de modo que las cinco indicaciones, distante cada una de la siguiente 11 km, serán:

$$
\begin{array}{ccccl} A=49 & A=38& A=27& A=16& A=5 \\ B=94 & B= 83& B=72& B=61& B=50.\end{array}
$$