Laurent Fargues (CNRS, Francia) y Peter Scholze (Universidad de Bonn, Alemania) pusieron a disposición de la comunidad matemática el pasado 26 de febrero un preprint titulado Geometrization of the local Langlands correspondence. Este título anuncia lo que, desde hacía varios años, se esperaba de la colaboración entre estos dos pesos pesados de la matemática moderna: un avance sustancial en las denominadas conjeturas de Langlands (o programa de Langlands). La presentación que hizo Michael Rapoport del trabajo de Scholze en el Congreso Internacional de Matemáticas de Río de Janeiro, donde le fue concedida la Medalla Fields más cantada del siglo, ya predecía un resultado en esta línea. El propio Fargues, hace cinco años, trazaba las líneas maestras de la prueba en una breve exposición de 46 páginas. El artículo completo, en esta primera versión, tiene 348.
Seguramente el resumen del preprint es autoexplicativo:
«Following the idea of [Far16], we develop the foundations of the geometric Langlands program on the Fargues-Fontaine curve. In particular, we define a category of \(\ell\)-adic sheaves on the stack \(\text{Bun}_G\) of \(G\)-bundles on the Fargues-Fontaine curve, prove a geometric Satake equivalence over the Fargues-Fontaine curve, and study the stack of \(L\)-parameters. As applications, we prove finiteness results for the cohomology of local Shimura varieties and general moduli spaces of local shtukas, and define \(L\)-parameters associated with irreducible smooth representations of \(G(E)\), a map from the spectral Bernstein center to the Bernstein center, and the spectral action of the category of perfect complexes on the stack of \(L\)-parameters on the category of \(\ell\)-adic sheaves on \(\text{Bun}_G\).»
Bueno, vale, tal vez no tanto…
Lo cierto es que intentar exponer las conjeturas de Robert Langlands (que sigue, a sus 84 años, en activo en su cátedra del Institute of Advanced Study, Princeton), incluso a un nivel elemental, es tarea de, al menos, un libro. A decir verdad, puede que mi compañero de blog Juan Arias de Reyna lo consiga en el espacio de una sola entrada, cosas más difíciles le he visto hacer. En cualquier caso, las implicaciones de estos resultados para la Teoría de Números y su relación con otras áreas, en particular con la Teoría de Grupos en el caso de las conjeturas locales a las que se refiere el trabajo de Fargues y Scholze, serían extraordinarias. Para dar una idea de su relevancia, con Scholze (2018) son ya cuatro los medallistas Fields que han obtenido el premio por sus trabajos en esta área (Drinfeld (1990), Lafforgue (2002), Châu (2010)). Así mismo, la demostración de Wiles de la conjetura de Taniyama-Shimura-Weil, que contenía como corolario el Último Teorema de Fermat, se puede reinterpretar como un caso particular de una de las conjeturas de Langlands (la conjetura de reciprocidad).
Dejo solamente aquí una metáfora (probablemente un tanto literaria) para ilustrar la importancia de la excepcional visión de Langlands, por la cual recibió en 2018 el Premio Abel. Si la Teoría de Números fuese la Cartografía, podríamos imaginar que antes de Langlands andábamos como los antiguos exploradores en la época de Magallanes y Elcano, describiendo paciente y trabajosamente las líneas costeras. El programa de Langlands se puede asemejar, en este contexto, a la idea de construir un satélite espacial que nos permitiese tener una imagen más precisa y a la vez una manera más sencilla de obtener de lo mismo que tanto trabajo y esfuerzo nos estaba costando describir (de forma cuestionable, además). En esta historia paralela, posiblemente el trabajo de Fargues y Scholze podría asemejarse a los doce segundos del primer vuelo de los hermanos Wright. Un logro superlativo, sin duda, que representa claramente un enorme avance. Pero, como espero que quede claro en el paralelismo, hasta llegar al espacio aún nos queda un largo camino que recorrer.
Referencias:
Laurent Fargues, Peter Scholze: Geometrization of the local Langlands correspondence. https://arxiv.org/abs/2102.13459.
Laurent Fargues: Geometrization of the local Langlands correspondence: An overview. https://webusers.imj-prg.fr/~laurent.fargues/Geometrization_review.pdf.
Michael Rapoport: The Work of Peter Scholze. Proc. Int. Cong. of Math. Rio de Janeiro. 1: 71–86.
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