Mind the gap: La controversia Mochizuki

Si realizamos una encuesta acerca de lo más característico de la Matemática, lo que la distingue con más precisión de otras ramas del conocimiento humano, muy probablemente encontraríamos que el concepto de demostración se encuentra, de una u otra forma, asociado a casi todas las respuestas. No en vano, durante un largo periodo de tiempo la Matemática ha sido sinónimo de Ciencias Exactas. Ya nos centremos en una u otra especialidad, incluso quienes se dedican a la investigación más aplicada reconocen en la demostración el rasgo inequívocamente matemático que, por el mismo precio, nos permite además progresar como disciplina, libres de discusiones del tipo que constituyen el día a día de las denominadas Ciencias Experimentales.

Obviamente, hasta la más inocente de las personas que nos dedicamos a esto conviene con seguridad en que la Matemática, como actividad humana, no está libre de enfrentamientos y roces entre quienes la estudian. Los casos más comunes y también los más famosos históricamente han venido de problemas de paternidad. El conocidísimo conflicto entre Newton y Leibniz con el nacimiento del cálculo diferencial como telón de fondo, o la amarga confrontación entre Gauss y Legendre por la invención del método de mínimos cuadrados son algunos de los más conocidos.

Pero no han sido los únicos ejemplos. Los alrededores del inicio del siglo XX fueron también testigos de un importante debate acerca de los fundamentos de las matemáticas, que se miraron por primera vez con la perspectiva del rigor lógico emergente. Los trabajos pioneros de Cantor, Frege o Russell dieron paso a la discusión sobre axiomatización, la aceptación o no de la hipótesis del continuo, los Teoremas de Gödel y muchos otros grandes hallazgos y diatribas en un campo donde, a ratos, parecía que la firmeza del paso de las Ciencias Exactas tenía algo de resbaladizo, después de todo.

Pero sobre demostraciones no se puede discutir, ¿no? Al fin y al cabo, un argumento es una demostración válida, o no lo es.

Bueno, no exactamente.

Hoy vamos a hablar de un caso reciente y, hasta cierto punto, muy poco habitual. Porque no se trata de discernir sobre quién demostró un resultado antes. Tampoco se trata de transitar la difusa frontera entre la Matemática y la Filosofía, ni discutir sobre el infinito o el ápeiron, ya que estamos de pie. El problema que os traemos hoy posee un contexto fascinante y además es de un tipo realmente infrecuente y sorprendente, que se puede resumir en una pregunta: ¿está bien esta demostración?

Vamos a empezar por el principio. Y el principio es, evidentemente:

 

1. abc

No, no hablamos de un rotativo aquejado de nostalgia, ni del tema de la Motown popularizado por The Jackson 5. Hablamos de la conjetura de Oesterlé-Masser, también llamada conjetura abc. La idea es muy, muy sencilla. Si tenemos tres números naturales \(a\), \(b\) y \(c\) sin factores comunes, verificando \(a+b = c\), y llamamos \(d\) al producto de todos los factores primos de \(a\), \(b\) y \(c\) (todos con exponente \(1\)), entonces \(d\) no puede ser en general más pequeño que \(c\).

La forma precisa de enunciar esto es la siguiente. Definimos el radical de un número natural \(n\), notado \(\mbox{rad}(n)\), como el producto de sus factores primos. Por ejemplo, \(\mbox{rad}(180) = 60\) o, si \(p\) es primo, \(\mbox{rad}(p^r) = p\).

Entonces, la conjetura de Oesterlé-Masser afirma que, para todo real \(\varepsilon >0\), existe solo una cantidad finita de ternas naturales \((a,b,c)\) tales que:

1. Los números \(a\), \(b\) y \(c\) no poseen factores comunes.
2. Se verifica que \(a+b = c\).
3. Se tiene que \(c >  \mbox{rad}(abc)^{1 + \varepsilon}\).

Así dicho es posible que no sea evidente, pero la conjetura tiene una lista de consecuencias que parece la de efectos secundarios del Optalidón, casi todas centradas en el área de la Geometría Aritmética, esto es, la parte de la Teoría de Números que interacciona con la Geometría. Entre estas consecuencias hay algunos resultados muy famosos ya probados, como el Teorema de aproximación de Roth, el Teorema de Faltings o el Último Teorema de Fermat, pero también una cantidad nada despreciable de problemas abiertos que quedarían resueltos; como la conjetura de Erdös-Woods (salvo una eventual cantidad finita de contrajemplos), la conjetura de Fermat-Catalan, la conjetura de Granville-Langevin o la conjetura de Lang, unos de los resultados más buscados en teoría de curvas elípticas actualmente.

No es la primera vez ni mucho menos, ni tampoco será la última, que ante un problema complejo y aparentemente inatacable alguien se plantea subir la apuesta y, en vez de atacar la conjetura en cuestión, deducirla como corolario de algo más general y abstracto. He aquí ese alguien:

 

2. Our man in Kyoto

Nuestro primer protagonista, Shinichi Mochizuki (Tokio, 1969) no es ningún advenedizo ni un amateur desorientado; de hecho tiene una carrera investigadora envidiable. Criado en Estados Unidos, realizó su doctorado en Princeton bajo la dirección de Gerd Faltings (medalla Fields 1986) y con menos de 30 años demostró la conjetura de Grothendieck en geometría no abeliana (que es tan complicada como sugiere su nombre). Poco después fue invitado como conferenciante en el Congreso Internacional de Matemáticas, aparecía en varias quinielas para las futuras medallas Fields y, de hecho, antes de los 35 ya era catedrático en el RIMS de Kioto, un centro de referencia a nivel mundial.

En 2012 publica un preprint, esto es, un artículo que aún no ha sido debidamente corregido y revisado por investigadores expertos, pero de cuyos resultados (y pruebas) se está lo suficientemente convencido como para anunciarlos públicamente. El preprint en realidad venía dividido en cuatro partes, con el título genérico de Inter-universal Teichmüller Theory (IUTT). Estas partes son:

• Inter-universal Teichmuller Theory I: Construction of Hodge Theaters.
• Inter-universal Teichmuller Theory II: Hodge–Arakelov-theoretic Evaluation.
• Inter-universal Teichmuller Theory III: Canonical Splittings of the Log-theta-lattice.
• Inter-universal Teichmuller Theory IV: Log-volume Computations and Set-theoretic Foundations.

En conjunto, se extienden a lo largo de unas 500 páginas. Están todas disponibles en la página de Mochizuki, como todos sus trabajos anteriores y posteriores. Según afirmaba su autor, la IUTT implicaba muchas consecuencias de largo alcance, entre otras la demostración de la conjetura de Szpiro y la conjetura de Vojta para curvas (ambos, resultados muy señalados). Pero, más allá de esto, procuraba una demostración de la conjetura de Oesterlé-Masser, cerrando así uno de los problemas estrella de la Teoría de Números.

La comunidad internacional se vio cogida por sorpresa. Aunque se sabía que Mochizuki, siendo como era una autoridad muy respetada en su campo, estaba trabajando en el problema abc, no se esperaba una teoría general de consecuencias tan enormes. Ni una filtración, ni una charla en algún congreso internacional, ni una referencia velada en un trabajo publicado anteriormente daban a entender lo que se avecinaba. Y como sucede en estos casos, un resultado de esta magnitud debía ser revisado con un tamiz finísimo por la comunidad investigadora antes de ser aceptado como correcto.

No fue tarea fácil. Para empezar, Mochizuki se mostraba dispuesto a cooperar en facilitar la comprensión de su trabajo… mientras lo hiciese desde Kioto, negándose a abandonar su residencia. Para seguir, el trabajo en sí parecía imposible de entender, incluso por los nombres más respetados en la especialidad. De hecho, el Instituto Clay y la Universidad de Oxford organizaron en 2015, tres años después de la publicación de los preprints, y en medio de un ambiente de frustración colectiva, un congreso centrado exclusivamente en la IUTT. El objetivo no era ratificar la prueba de la conjetura abc como correcta, o señalar un error fundamental, sino entender mejor la teoría general creada por Mochizuki.

La lista de participantes de las jornadas es prácticamente un who’s who en la Teoría de Números del momento, incluido el propio Mochizuki (vía Skype, eso sí). Se repartió el trabajo y se escalonó la presentación de los resultados con la esperanza de que se pudieran exponer con coherencia. De nada sirvió. El resumen de Brian Conrad, profesor de Stanford y uno de los asistentes, ilustra muy bien el sentimiento de fracaso conjunto que se apoderó de los participantes al terminar las jornadas. En la página citada, podemos encontrar esta inspiradora metáfora:

It felt like taking a course in Linear Algebra in which one is repeatedly told “Consider a pair of isomorphic vector spaces” but is never given an interesting example (of which there are many) despite repeated requests and eventually one is told “You have been given examples.”

Nos sentíamos como si estuviéramos en un curso de Álgebra Lineal en el cual te repiten una y otra vez «Considere dos espacios vectoriales isomorfos», pero nunca te dan un ejemplo interesante (de los muchos que hay) a pesar de pedirlo reiteradamente hasta que finalmente te dicen «Ya te hemos dado ejemplos».

Así las cosas, la situación se encontraba en un aparente callejón sin salida. Por un lado, Mochizuki y algunos expertos que validaban sus resultados, daban por buena la IUTT con todas sus conclusiones y corolarios. Por la otra, la mayor parte de la comunidad matemática (de Teoría de Números / Geometría Aritmética, por ser más específicos), simplemente se manifestaba incapaz de entender el trabajo, ni siquiera en alguna parte sustancial, lo cual habría podido ayudar a corroborar o desechar los resultados. No sabemos con certeza a qué revistas envió Mochizuki sus trabajos, pero lo cierto es que ninguna dio el paso de publicarlos.

Y pasaron los años desde la aparición de la IUTT sin avances dignos de mención, hasta 2018. Que fue justo cuando la cosa se puso interesante.

 

3. That escalated (moderately) quickly

En marzo de 2018 Mochizuki recibió en Kioto (dónde si no) una visita que marcaría un antes y un después en esta historia. Dos matemáticos alemanes, Peter Scholze (de quien ya hemos hablado aquí) y Jakob Stix, ambos expertos reconocidos en Geometría Aritmética, se autoimpusieron la tarea de deshacer el nudo gordiano en el que se había convertido la IUTT y la demostración de la conjetura abc. Para ello, acudieron a la fuente, armados con muchas preguntas y allí pasaron una semana de discusiones con Mochizuki y Yoichiru Hoshi, colaborador de este en el desarrollo de la IUTT.

En este enlace podéis encontrar un resumen (con informes añadidos como enlaces al final) de los múltiples desencuentros que resultaron de aquella semana. Por un lado Scholze y Stix dejaron clara su postura: la demostración de la conjetura abc no solo no era correcta, sino que además existía un gap (un vacío argumental) por el cual era imposible llegar a tal demostración usando los argumentos de Mochizuki. El motivo: un resultado muy reciente de Geometría Aritmética que debemos a… Shinichi Mochizuki. Pues eso, que no hay peor cuña que la de la propia madera.

La respuesta de Mochizuki, y de la selecta (que es una forma amable de decir reducida) comunidad que apoya sus afirmaciones, no se hizo esperar. Sin embargo, no vino expresada en el terso estilo habitual, más bien en un despliegue de refutación inusualmente agresivo. A esto vino una contrarréplica de Scholze-Stix y de nuevo una respuesta de Mochizuki (todos los documentos se encuentran en el enlace de arriba). La discusión se trasladó al foro público, y Mochizuki eventualmente dejó de referirse a Scholze y Stix como «the other participants» para pasar a denominarlos RCS (acrónimo de “the redundant copies school”), que incluía así mismo a quienes públicamente dudaban de sus afirmaciones, como Kiran Kedlaya o Peter Woit, cuyo blog Not Even Wrong se convirtió en un animadísimo foro de discusión cada vez que surgía el tema. No siempre guardando las formas, hay que decir.

Con todo esto, aún faltaba una pieza del puzzle. Los artículos de Mochizuki no habían recibido el apoyo de ninguna revista científica, lo cual podía considerarse objetivamente un problema para la credibilidad del trabajo. Finalmente, en febrero de 2020 una revista consolidada aceptó publicar los cuatro artículos de Mochizuki. Varios sucesos inusuales rodean esta publicación, sin embargo. La revista en cuestión es Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences  o Publ. RIMS, como suele abreviarse. No es la revista que uno esperaría tratándose de la publicación de resultados de tanta envergadura, desde luego, pero es una revista de larga tradición en Geometría Algebraica y Aritmética, editada por la European Mathematical Society.

Los problemas, sin embargo, empiezan cuando se tiene en cuenta que el Research Institute for Mathematical Sciences que apadrina a la revista es el mismo RIMS de Kioto donde Mochizuki es catedrático y, de hecho, Shinichi Mochizuki es el editor jefe de la revista, esto es, su máxima autoridad científica. La publicación se anunció en abril de 2020, en una rueda de prensa (!!!) donde dos miembros del comité editorial defendieron la decisión de publicar los artículos, alegando que el autor había sido completamente ajeno al proceso de revisión y aceptación. No se puede negar, sin embargo, que aún dando validez a estas afirmaciones, la credibilidad y el prestigio de la revista, así como posiblemente del trabajo de Mochizuki hayan quedado permanentemente dañados por esta decisión.

Hasta aquí el resumen de una controversia que con seguridad tendrá más recorrido. Probablemente, en unos años las herramientas necesarias para entender mejor los planteamientos de la IUTT serán más asequibles y tal vez entonces podremos asegurar con certeza si realmente la visión de Mochizuki logró vencer el desafío de la conjetura abc. Porque, al fin y al cabo, un argumento es una demostración válida, o no lo es. ¿No?