Publicamos la solución al divertimento Campeonato interfacultades. Gracias a Floro Damián Aranda, Pablo Cano, Juan Miguel Expósito, Marcos Jiménez y Manuel Zambrana, Miguel Pineda, Curro Planás y Jorge Santoro por las soluciones que nos han enviado.
Divertimento:
Tres facultades, Matemáticas, Física y Química, participaron en un campeonato deportivo universitario. Cada una presentaba un participante en cada prueba.
Isabel, una estudiante de la facultad de Física, se sentó en la tribuna para animar a un amigo suyo que era el campeón de natación de su facultad. Cuando llegó a su casa, su hermano le pregunto qué tal había quedado su facultad. «Ganamos la prueba de natación», le contesto ella, «pero Matemáticas ganó el campeonato. Ellos hicieron un total de 22 puntos, mientras que Química y nosotros quedamos igualados a 9».
«¿Cómo puntúan las pruebas?», le preguntó el hermano. «No lo sé muy bien,» dijo ella, «pero había un número determinado de puntos para el vencedor de cada prueba, un número menor de puntos para el segundo y otro todavía menor para el tercero. Lo que sí recuerdo, continuó ella, es que la puntuación era la misma para todas las pruebas.»
«¿Cuántas pruebas hubo en total?,» volvió a preguntarle el hermano. «No lo sé,» respondió ella, «lo único que estuve viendo fue la natación.»
«¿No había salto de altura?» Preguntó de nuevo el hermano. «Sí, lo vi en un tablón.»
«¿Y sabes quién lo ganó?» Preguntó por último el hermano. «No,» respondió ella, «no lo sé.»
¿Puedes deducir, a través de este diálogo, la respuesta a esta última pregunta y, ya puestos, las puntuaciones de todas las pruebas del campeonato?
Solución:
La vencedora en salto de altura fue la facultad de Matemáticas.
Como el número de puntos asignados al primero, segundo y tercer participante de cada prueba es un número entero, la puntuación asignada el vencedor de cada prueba no puede ser inferior a 3.
Se sabe además que el campeonato tuvo dos o más pruebas y que fue la facultad de Física la vencedora de natación. Como fue 9 la puntuación final de esa facultad, el número de puntos al vencedor de una prueba no puede ser mayor que 8, pues se sabe que hubo al menos 2 pruebas.
Pero 8 no puede ser ese número, porque en ese caso solo podría haber dos pruebas y entonces la facultad de Matemáticas no podría acumular 22 puntos. Tampoco puede ser 7, porque entonces no podría haber más de 3 pruebas y esa facultad tampoco podría haber obtenido 22 puntos.
Razonamientos similares a este eliminan la posibilidad de que el primer puesto de cada prueba se puntuara con 4 o 3 puntos. Por tanto, por exclusión, la única puntuación posible para el ganador ha de ser 5 o 6 puntos. Esta última opción se puede descartar con un argumento más elaborado, en la línea del siguiente, así que centrémonos en el caso en el que se premie con 5 puntos a la facultad ganadora.
En ese caso, el campeonato tuvo que constar de 5 pruebas, pues con menos de ellas la facultad de Matemáticas no podría alcanzar 22 puntos y con más se rebasaría el total de Física, facultad vencedora en natación que no obtuvo más que 9 puntos.
Por consiguiente, las otras cuatro puntuaciones de esta escuela tuvieron que ser de 1 punto cada una. Entonces, la facultad de Matemáticas tiene ahora únicamente dos modos de alcanzar 22 puntos: 4, 5, 5, 5, 3 o bien 2, 5, 5, 5, 5.
Sin embago, la primera posibilidad ha de ser eliminada porque necesita cuatro puntuaciones distintas (y le daría a la facultad de Química un total de 17 puntos y ya se sabe que solo tuvo 9). La única posibilidad restante le da a la facultad de un total de 17 puntos, siendo entonces el resultado final de puntuaciones y pruebas el siguiente:
|
Facultad |
P1 |
P2 |
P3 |
P4 |
P5 |
TOTAL |
|
Matemáticas |
2 |
5 |
5 |
5 |
5 |
22 |
|
Física |
5 |
1 |
1 |
1 |
1 |
9 |
|
Química |
1 |
2 |
2 |
2 |
2 |
9 |
Dos ideas que se me han ocurrido diferentes a las de la solución:
1. Mas sencillo que el fijarse caso por caso las posibilidades para el número de puntos obtenidos por el ganador de una prueba es quizá fijarse en cuanto vale la suma de esos puntos. Al ser mayor que 5 y al haber al menos dos pruebas esta suma está en {8, 10, 20}, han de ser divisores de 40 que es la suma total de puntos, que corresponden a los casos de {5,4,2} pruebas respectivamente.
2. Además como el ganador obtuvo mas puntos que la suma de los otros dos está claro que los de Matemáticas tuvieron que ganar mas de la mitad de las pruebas, está información descarta el caso de que hubiera dos pruebas y nos descarta casi todas las posibilidades para construir la tabla de resultados.