Contábamos en la entrada anterior que el 27 de enero de 1926 se recibía en la redacción de los Annalen der Physik el artículo “Quantisierung als Eigenwertproblem” (La cuantización como un problema de autovalores), escrito por Erwin Schrödinger, donde apareció la famosa ecuación que hoy lleva su nombre y que sentó las bases de lo que hoy conocemos como mecánica cuántica ondulatoria. El trabajo de Schrödinger gustó a muchos físicos, pues gracias a él se pudieron, en principio, explicar muchas de las incógnitas de la recién nacida teoría cuántica. Pero, en honor a la verdad, lo que más gustó era que las matemáticas que había detrás de la teoría de Schrödinger eran comprensibles para la inmensa mayoría de los físicos teóricos de la época. Y es que seis meses antes, el 29 de julio de 1925, a la redacción de la prestigiosa revista Zeitschrift für Physik había llegado un artículo firmado por un joven físico formado en Múnich y Gotinga llamado Werner Heisenberg con el extraño título “Über die quantentheoretische Umdeutung kinematischer und mechanischer Beziehungen” (Sobre una reinterpretación teórica cuántica de las relaciones cinemáticas y mecánicas). Fue el primer artículo de lo que hoy llamamos Mecánica Cuántica, pero, a diferencia de la mecánica cuántica ondulatoria de Schrödinger, la mecánica de Heisenberg usaba una herramienta mucho más extraña para los físicos: el cálculo matricial. De esta mecánica cuántica matricial nos ocuparemos en esta entrada, pero antes debemos presentar a nuestro principal protagonista: el físico alemán Werner Heisenberg.
Heisenberg nació el 5 de diciembre de 1901 en Wurzburgo (Würzburg) en Baviera y era el hijo menor de dos hermanos. Su padre August era profesor de lenguas clásicas en un instituto (Gymnasium) y muy poco después de la propia Universidad de Wurzburgo. Parece ser que su padre era una figura tremendamente autoritaria, muy severo y rígido con sus dos hijos, a los que, entre otras cosas, les exigía un alto nivel académico y una disciplina férrea. August era además extremadamente competitivo, competitividad que obligó practicar a sus dos hijos (en las clases, deportes, etc.) hasta tal punto que los hermanos apenas si se hablaban (de hecho prácticamente dejaron de verse durante toda su vida adulta). Como curiosidad cabe decir que Erwin, el hermano mayor de Werner, solía ganar en todo, excepto en matemáticas, y eso hizo que Heisenberg se concentrarse en ellas especialmente, algo que, como se verá, acabaría por servirle de mucho años después.
La I Guerra Mundial pilló a Werner en Múnich (vivían allí desde 1910 al ser su padre nombrado catedrático en la Universidad de Múnich) estudiando en el Gymnasium, pero dado que este pasó a ser ocupado por tropas del ejército alemán, las clases se dispersaron, lo que ayudó a Werner a centrarse en la física y las matemáticas, pero sin dejar de participar en actividades voluntarias como trabajar en granjas, entre otras. En 1919, su último año en el Gymnasium, entró a formar parte del Movimiento de la Juventud (una especie de Boy Scouts), llegando a ser el líder de uno de sus grupos. Hasta 1933, que dichos grupos fueron suprimidos, Heisenberg dedicó gran parte de su tiempo libre con su grupo haciendo acampadas, excursiones a la montaña, etc., afición que le acompañó toda su vida.
Tras la guerra entró en la Universidad de Múnich. Su intención original era estudiar matemáticas con Lindemann, toda una celebridad en teoría de números, pero este no lo aceptó como estudiante (hay varias historias al respecto siendo la más probable que a Lindemann no le interesara tener un estudiante de primero y solo había accedido a entrevistar a Wener pues era amigo del padre de este). A este respecto es divertido leer lo que el propio Heisenberg escribió en sus memorias [1]
Visité a Lindemann, que también trabajaba en la administración universitaria, en la primera planta del edificio de la Universidad, en un despacho oscuro amueblado de modo extrañamente anticuado, que por la rigidez de su instalación despertó en mí un sentimiento de cierta retracción. Antes de hablar con el profesor, que no se levantó sino lentamente, observé que sobre el escritorio, junto a él, estaba agazapado un perrito de pelo negro, que en este entorno me recordó inmediatamente al perro del laboratorio de Fausto. El oscuro bicho me miró hostilmente por considerarme, sin duda, como un intruso dispuesto a perturbar la paz de su amo. Algo confundido por esto, expuse mi asunto balbuceando, y, justo cuando hablaba, me di cuenta de la poca modestia de mi ruego. Lindemann, un anciano de barba blanca, ya con aspecto algo cansado, notó también, sin duda, esta inmodestia, y la ligera excitación que le sobrecogió puede haber sido la causa de que el perrito comenzara de improviso a ladrar terriblemente sobre el escritorio. En vano trató su amo de calmarlo. El animalito tradujo su ira hacia mí en furiosos ladridos, que repetía en sucesivas oleadas, de modo que resultó cada vez más difícil entenderse. Lindemann me preguntó qué libros había estudiado últimamente. Yo cité la obra de Weyl Espacio-tiempo-materia. Entre la furia incontenida del pequeño guardián negro, Lindemann terminó la conversación, diciendo: «Entonces usted ya está, en todo caso, perdido para las matemáticas». Con esto quedé despedido.
Para suerte de todos, Heisenberg terminó bajo la tutela de uno de los grandes físico-matemáticos de la época, Arnold Sommerfeld. Así, en octubre de 1920 empezó sus estudios en física teórica, pero sin descuidar las matemáticas (por si se torcían las cosas). Allí conoció y entabló amistad con otro de los discípulos de Sommerfeld, Wolfgang Pauli, que fue quien lo condujo irremediablemente al mundo de la física cuántica. En 1922 asistió al famoso curso de Bohr en Gotinga, donde conoció a otro de los grandes físicos del momento, Max Born. Gracias a ello, durante una estancia de Sommerfield en los Estados Unidos, Heisenberg aceptó la invitación de Born de ir a trabajar con su equipo en Gotinga. Ese viaje sin duda le cambió la vida en todos los sentidos, ya que allí se dedicó a investigar en la todavía “misteriosa” física cuántica. Regresó a Múnich a defender su tesis doctoral sobre mecánica de fluidos (problemas de turbulencia). La defensa de su tesis le proporcionó sin duda una de sus primeras frustraciones. Era obligatorio que el candidato a doctor, tras explicar sus aportaciones originales, se enfrentara a un examen oral por parte de los principales catedráticos, uno de los cuales era Wilhelm Wien, uno de los más importantes físicos experimentales, que para desgracia de Heisenberg era contrario a la teoría cuántica y por tanto desdeñaba el trabajo de Sommerfeld en dicha área. Que Werner pasara tan abiertamente de la física experimental no ayudaba, así que tras un desastroso examen (Heisenberg no fue capaz de responder a casi ninguna pregunta de las formuladas por Wein) al final aprobó por los pelos, pues Wein lo aprobó con la calificación mínima (aprobado, I), que tras presiones de Sommerfeld se quedó en una media de cum laude (II), lejos de la máxima summa cum laude (IV). Esto fue una humillación para alguien como Heisenberg pero, como contaremos en otra ocasión, este aprendió la lección, pues estudió las preguntas de Wein que le ayudaron luego a preparar un experimento mental que le condujo al famoso principio de incertidumbre que hoy lleva su nombre.
Tras obtener su doctorado, Heisenberg dejó Múnich y se trasladó como ayudante de Max Born en Gotinga, quien no tuvo reparos en aceptarlo (argumentando que Wein se había pasado un poco en su nota) y se dedicó por entero a investigar en la recién nacida física atómica. En aquellos momentos, el danés Niels Borh intentaba resolver las últimas contradicciones que habían aparecido al estudiar la interacción de la luz (ondas electromagnéticas con los átomos) junto a sus ayudantes Kramers y Slater. La teoría BKS (por las iniciales de sus autores) fue un rotundo fracaso y mostró la cara menos amable de Bohr (que casi pierde la amistad con más de uno de sus antiguos colegas por la forma totalmente irracional con la que defendió dicha teoría que ponía en entredicho la causalidad y la conservación de la energía, pilares sagrados de la física), pero le dio a Heisesnberg una idea que finalmente iba a llevarle al descubrimiento (o invención) de la mecánica matricial: no era importante cómo se movían los electrones en el átomo (estructura atómica), sino lo que se podía observar de ellos, que en este caso, eran las frecuencias e intensidad de las líneas espectrales. Entonces recordó (o si se prefiere, rescató) la teoría de Fourier (de la que hablamos aquí). Él mismo lo recordó años después: “La idea en sí misma sugería que uno debería escribir las leyes mecánicas, no como ecuaciones para las posiciones y velocidades de los electrones, sino como ecuaciones para las frecuencias y amplitudes de su expansión de Fourier”.
Y se puso manos a la obra. Es mejor que nos lo cuente David Lindley [2]
No fue difícil para Heisenberg poner por escrito, de una manera matemática formal, ecuaciones que expresan la posición y la velocidad de un electrón como combinaciones de las oscilaciones fundamentales de un átomo. Pero cuando insertó estas expresiones compuestas en ecuaciones estándar de la mecánica, lo que creó fue un tremenda confusión. Los números individuales se convirtieron en listas de números; el álgebra sencilla explotó en páginas de fórmulas repetitivas y confusas. Durante semanas, Heisenberg probó diferentes cálculos, jugó juegos algebraicos con la serie de Fourier, luchó inútilmente contra la confusión y luego se detuvo cuando un monstruoso ataque de fiebre del heno (alergia) le obstruyó el cerebro.
Para curarse, el 7 de junio de 1925 se fue a la isla de Helgoland, una isla apenas poblada donde no crecía ni una planta. Allí se quedó en el medio de la nada con sus cuentas, sus libros de Física y unos de Goethe. Cada día se iba a escalar, daba grandes caminatas, y leía a Goethe, hasta que se le despejó el cerebro. El problema de Heisenberg era que las frecuencias e intensidades no eran simples números, sino tablas de números, tablas que en matemáticas se denominan matrices y de las que, aunque al lector le parezca mentira, Heisenberg no tenía ni idea de que existieran. El problema al que se enfrentaba Heisenberg era muy simple: si tenemos dos números \(a\) y \(b\), la multiplicación de ambos es el número \(a\cdot b\), pero ¿y si lo que tenemos es una tabla de números?
Pongamos un ejemplo:
Supongamos que tenemos las tablas cuadradas (matrices)
$$A=\left(\begin{matrix}
a_1 & b_1 \\
c_1 & d_1
\end{matrix}\right) \quad\mbox{y}\quad
B=\left(\begin{matrix}
a_2 & b_2 \\
c_2 & d_2
\end{matrix}\right),$$
¿cuánto vale el producto de ambas? Podría ser, por ejemplo,
$$\left(\begin{matrix}
a_1 & b_1 \\
c_1 & d_1
\end{matrix}\right) \cdot
\left(\begin{matrix}
a_2 & b_2 \\
c_2 & d_2
\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}
a_1 a_2& b_1 b_2 \\
c_1 c_2& d_1 d_2
\end{matrix}\right),$$
o
$$\left(\begin{matrix}
a_1 & b_1 \\
c_1 & d_1
\end{matrix}\right) \cdot
\left(\begin{matrix}
a_2 & b_2 \\
c_2 & d_2
\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix} b_{1}\,
c_{2}+a_{1}\,a_{2}&b_{1}\,d_{2}+a_{1}\,b_{2}\cr c_{2}\,d_{1}+a_{2}\,
c_{1}&d_{1}\,d_{2}+b_{2}\,c_{1} \end{matrix}\right),$$
por poner dos ejemplos de entre las muchas opciones que se nos podrían ocurrir. El problema de Heisenberg es que no encontraba una forma de definir la multiplicación que le llevara a algo con sentido físico. Curiosamente, fue un razonamiento físico (y no las matemáticas) las que le llevaron a descubrir que la última de las dos formas mostradas antes de multiplicar matrices era la que tenía sentido (curiosamente, esa es la definición «buena» de multiplicar matrices desde el punto de vista matemático). Lo que pasó a continuación lo cuenta el propio Heisenberg en sus memorias [1]:
Algunos días bastaron para desechar el lastre matemático que aparece siempre al comienzo en tales casos y encontrar una formulación matemática sencilla para mi problema. Pocos días después vi con claridad creciente que, en una física semejante, en lugar de las condiciones cuánticas de Bohr y Sommerfeld, debían jugar su papel solamente las magnitudes observables. Pude advertir claramente que con esta condición adicional estaba formulado ya el punto central de la teoría, y que a partir de este momento no quedaba ya lugar para una libertad ulterior. Pero reparé en que no había garantía alguna de que el esquema matemático así originado pudiera en absoluto ser aplicado sin contradicción. En especial, resultaba totalmente incierto si en este esquema estaba vigente todavía el principio de la conservación de la energía, y no podía ocultárseme que, sin el principio de la energía, todo el esquema quedaría sin valor alguno. Por otro lado, había en mis cálculos muchas indicaciones de que la matemática por mí columbrada podía ser desarrollada realmente sin contradicciones y de forma coherente si se podía demostrar en ella el principio de la energía. En consecuencia, mi trabajo se concentró cada vez más sobre la cuestión de la validez del principio de la energía, y una noche llegué tan adelante, que pude determinar cada uno de los términos en la tabla de la energía […] Cuando vi que en los primeros términos se confirmaba realmente el principio de la energía, caí en una especie de excitación, que me hacía cometer errores en todos los siguientes cálculos. Eran las tres de la madrugada cuando el resultado definitivo del cálculo estuvo completo ante mis ojos. La vigencia del principio de la energía se había demostrado en todos los términos, y, como este resultado se había ofrecido por sí mismo—sin violencia alguna—, no podía ya tener dudas sobre la falta de contradicciones matemáticas ni sobre la unidad completa de la mecánica cuántica aquí insinuada. En el primer momento quedé profundamente conmocionado. Tenía el presentimiento de que a través de la superficie de los fenómenos atómicos miraba hacia un fondo subyacente de belleza interior fascinante, y casi perdí el sentido al pensar que ahora tenía que ir tras esta multitud de estructuras matemáticas que la naturaleza había abierto ante mí. Estaba tan impresionado que no pude conciliar el sueño. Por esto, con las primeras luces del alba salí de la casa y me dirigí a la punta meridional de la altiplanicie, donde una roca en forma de torre solitaria que penetraba en el mar había despertado en mí las ganas de escalarla. Logré sin mayor dificultad escalar la torre y esperé sentado en su cima la salida del sol.
Como bien dice David Lindley, «Con alegría y desconcierto descubrió que sus extrañas matemáticas de hecho producían un resultado consistente para la energía de un sistema, pero solo mientras esa energía perteneciera a un conjunto restringido de valores. Su nueva forma de mecánica era, de hecho, una forma cuantificada de mecánica.» En efecto, hasta ese momento todo intento de construir una física cuántica pasaba por tener que conectar de una u otra forma con la regla de cuantización de Plack, pero Heisenberg no lo había hecho, había conseguido que sendos sistemas físicos se cuantizaran a sí mismos, sin ninguna ayuda externa, y uno de los dos sistemas era nada más y nada menos que uno de los sistemas paradigmáticos de la física: el oscilador armónico (del que ya hablamos aquí). De hecho, Heisenberg obtuvo que la energía del oscilador tendría que venir dada por la expresión
$$E_n= \frac{h\omega_0}{2\pi}\left( n+\frac12\right), \quad n=0,1,2,\ldots$$
Lo único que preocupaba a Heisenberg era que su regla de multiplicación no respetada el orden, es decir, \(A B \neq B A\), el producto no era conmutativo.
De vuelta a Gotinga, Heisenberg pasó por Hamburgo, le contó a su amigo Pauli lo que había encontrado y este le instó a ponerlo por escrito lo antes posible. Cuando lo hubo hecho se lo mostró a Born, quien sin dudarlo lo envió a publicar al Zeitschrift für Physik, donde fue recibido el 29 de julio de 1925. Pero Born intuyó algo escondido en el razonamiento de Heisenberg. El 19 de julio Born partió para Hannover a una reunión de la Deutsche Physikalische Gesellschaft (Sociedad de Física Alemana) y por el camino se dio cuenta que la extraña ley de multiplicación de Heisenberg no era, en efecto, más que la ley de multiplicación de matrices (la segunda de las fórmulas de multiplicación que mostramos antes) y que si denotaba por \(p\) la matriz del momento y por \(q\) la de la posición entonces lo que obtenía era una fórmula un tanto rara
$$p\, q – q\, p= \frac{h}{2\pi i}I,$$
donde \(h\) era la constante de Planck, \(i=\sqrt{-1}\) la unidad imaginaria e \(I\) la matriz unidad (todo ceros excepto los elementos de la diagonal, que son unos). Esta relación, que jugó un papel tremendamente importante en el desarrollo de la mecánica cuántica, fue la clave que permitió a Born, junto a su otro estudiante, Jordan (Pauli, que había sido invitado por Born a colaborar, se desentendió del problema), descifrar la enigmática idea de Heisenberg. El artículo no se hizo esperar y fue a su vez enviado a publicar a Zeitschrift für Physik, donde lo recibieron el 27 de septiembre de 1925, bajo el título “Zur Quantenmechanik” (Sobre la mecánica cuántica).
El 28 de julio de 1925, Heisenberg presentó sus resultados en el club Kapitza de Cambridge, donde estudiaba un joven ingeniero (sí, amigo lector, ingeniero) que tras graduarse decidió hacerse matemático (no, no físico) finalizando el grado de matemáticas en 1923 y siendo el primero de su promoción, lo que le abrió las puertas de Cambridge. Tras graduarse, Dirac intentó trabajar en el área de la relatividad general, con E. Cunningham, pero al rechazarle este terminó trabajando con el físico y astrónomo R. Fowler, quien estaba muy interesado en la naciente teoría cuántica. Aunque Dirac no escuchó la charla de Heisenberg ni conocía el trabajo de este hasta que Fowler en septiembre le pasó las pruebas de imprenta del artículo del alemán, tras apenas un par de semanas, Dirac no solo entendió la idea de Heisenberg sino que la desarrolló mucho más allá al darse cuenta de que las relaciones de Heisenberg eran muy similares a una de las estructuras algebraicas de la mecánica: los corchetes de Poisson. De esta forma, el 7 de noviembre se recibió en la redacción de los Proceedings of the Royal Society A un artículo de Dirac titulado «On the Theory of Quantum Mechanics» (el tercer artículo en orden cronológico sobre la mecánica cuántica) solo nueve días antes de que Heisenberg, esta vez junto a Born y Jordan, enviara a publicar la teoría completa de la mecánica matricial. Así fue como el artículo titulado “Zur Quantenmechanik II” que suele conocerse como el Dreimännerarbeit (Trabajo de los tres hombres) llegó a la redacción de Zeitschrift für Physik el 16 de noviembre de 1925. Lo que ocurrió a continuación fue una explosión de trabajos (entre ellos destaca el de Pauli que consiguió resolver el problema del espectro del hidrógeno usando la teoría del Dreimännerarbeit) que en poco más de un año culminó con una teoría sólida tanto desde el punto de vista físico como matemático.
Pero ¿cuál fue la acogida de la mecánica cuántica matricial? Grosso modo, como bien describe Sánchez-Ron en su estupenda Historia de la física cuántica, se formaron dos grupos: los modernos, encabezados por hombres como Born, Bohr y Pauli que la aceptaban, y los antiguos, que la rechazaban. Entre estos últimos estaba, aunque parezca mentira, Einstein, que le escribió a su amigo Ehrenfest el 28 de agosto de 1926 que “con admiración y desconfianza a la vez observaban el desarrollo de la mecánica cuántica”. El problema, cómo no, eran las matemáticas. En 1925-1926 muy pocos físicos estaban familiarizados con el cálculo matricial, y menos aún si este involucraba matrices infinitas. Ya vimos que el propio Heisenberg no las conocía, y el hecho de que Born y Jordan sí, se debía a que Born había sido ayudante en Gotinga del mismísimo Hilbert, el matemático más importante del mundo en ese momento.
Fue quizá Peter Debye quien, en una entrevista muchos años después, dio la mejor respuesta a la pregunta de si los físicos prestaron atención a la mecánica cuántica desarrollada en el Dreimännerarbeit:
Sí, sí. Los físicos le prestaron atención. Se tenía la sensación de «¿por qué este complicado formalismo?», pero tan pronto se puso en una ecuación diferencial, relacionado con la mecánica [se trata de la ecuación de Schrödinger de la que hablamos en la entrada anterior]… uno se sintió muy aliviado. Sentí que entonces comprendía las cosas, mientras que con Heisenberg no las comprendía demasiado bien.
Pero todavía quedaba mucho por entender… como, por ejemplo, qué significado tenía la famosa función de onda de Schrödinger, que como ya comentamos, traería la probabilidad a la física de una forma nunca antes vista, y no solo eso, a Heisenberg todavía le quedaba por descubrir el principio que le haría famoso (mucho más que la mecánica matricial): el principio de incertidumbre. Pero de eso hablaremos en nuestra próxima entrada.
Para saber mas:
La autobiografía de Heisenberg está publicada en castellano con el nombre
[1] Werner Heisenberg, Diálogos sobre la física atómica. La Editorial Católica. Madrid. 1975. También disponible en la Colección Universal de Círculo de Lectores en el volumen titulado «Física cuántica ( Werner Heisenberg, Niels Bohr, Erwin Schrödinger)» Círculo de Lectores. Barcelona. 1996.
Sobre la vida y obra de Heisenberg se tiene:
[ 2] David Lindley, Incertidumbre. Einstein, Heisenberg, Bohr y la lucha por la esencia de la ciencia,
Ariel, 2008.
Y como libro de consulta general,
[3] José Manuel Sánchez Ron, Historia de la física cuántica: I. El período fundacional (1860-1926), Drakontos, 2001.
Excelente trabajo, felicitaciones