El matemático noruego Thoralf Skolem (1887–1963) no es una figura muy conocida, pese al número y la importancia de sus contribuciones. Fue autor de unos 180 artículos sobre ecuaciones diofánticas, teoría de grupos, teoría de retículos, combinatoria y, no en último lugar, sobre lógica matemática y teoría de conjuntos. Pero publicó sobre todo en revistas nórdicas con escasa circulación, y eso explica que su obra tuviera menos impacto inmediato del que mereció. Un ejemplo de ello es el teorema de Skolem–Noether, que da una caracterización de los automorfismos de álgebras simples: la famosa matemática lo redescubrió de forma independiente, pero Skolem había publicado una demostración ya en 1927.
Los trabajos de Skolem son especialmente conocidos entre lógicos, dando nombre al célebre teorema de Löwenheim–Skolem, el primer resultado metalógico que se demostró, y a la “paradoja de Skolem”. Fue todo un pionero en el estudio de los modelos no estándar, sin duda uno de los mejores lógicos de la primera mitad del siglo XX, aunque sus ideas críticas y algo escépticas acerca de los fundamentos quizá le restaran también impacto.
El sistema axiomático habitual de teoría de conjuntos (conocido por las siglas ZFC) recibe el nombre de Zermelo-Fraenkel, pero bien podría haberse llamado Zermelo-Skolem. En una conferencia de 1922, que es el tema de esta nota, Skolem perfeccionó los axiomas propuestos por Zermelo, empleando la lógica de primer orden para refinar la idea de “propiedad definida”. También señaló la necesidad de añadir el axioma de reemplazo para poder generar todos los alefs de Cantor. Abraham Fraenkel hizo contribuciones comparables (aunque menos claras y menos logradas) en varios artículos de los años 1920. Si finalmente el sistema de axiomas lleva un nombre y no el otro, probablemente se debe a que Fraenkel era un gran entusiasta de la teoría de conjuntos y escribió un manual que hizo mucho por difundirla. En cuanto a la actitud de Skolem, enseguida la veremos.
Un artículo de 1920 titulado ‘Investigaciones lógico-combinatorias sobre la satisfactibilidad…’ comienza simplificando y generalizando la demostración de un teorema presentado por el lógico alemán Löwenheim en 1915. Dada una teoría en primer orden (o sea, un conjunto enumerable de proposiciones), si dicha teoría tiene un modelo A, entonces tiene ya un modelo cuyo dominio es enumerable. La demostración de Skolem utilizaba el axioma de elección para probar que hay de hecho un submodelo de A que satisface el enunciado del teorema. Un par de años más tarde, dio una nueva demostración de su teorema que no emplea el axioma de elección, y la aplicó a la propia teoría axiomática de conjuntos.
Al perfeccionar el sistema de axiomas de Zermelo, obtenemos el sistema ZFC formulado en lógica de primer orden. Y por tanto, se le aplica plenamente el teorema de Löwenheim-Skolem, lo cual da lugar a una situación paradójica: los axiomas de ZFC pretenden fundamentar la teoría de conjuntos cantoriana, que es eminentemente una teoría de conjuntos infinitos, la mayoría de los cuales son super-numerables (el ejemplo elemental es R, el conjunto de los reales); y sin embargo, la teoría ZFC queda satisfecha ya en un modelo enumerable. El universo entero de los conjuntos –en la medida que determinan su existencia los axiomas—podría ser nada más que un dominio enumerable. La teoría demuestra la ‘existencia’ de conjuntos no-enumerables, pero dichos conjuntos pueden vivir (si se permite la expresión) en un dominio que sólo contiene una cantidad enumerable de cosas.
No se trata de una paradoja como las de Russell o de Cantor, que en realidad son contradicciones de una teoría logicista de conjuntos. La paradoja de Skolem es una verdadera paradoja, o sea, un resultado que contradice fuertemente nuestras expectativas, pero que no da lugar a una contradicción. Fue el mismo Skolem, en su magistral artículo, quien ofreció la explicación estándar de por qué no hay contradicción.
Al abandonar la matemática informal por la axiomática, ‘conjunto’ ya no es una colección arbitraria, sino un objeto que está ligado con otros objetos del dominio a través de ciertas relaciones postuladas en los axiomas. Por eso no es contradictorio que un objeto A del dominio sea no-enumerable en el sentido de los axiomas –dentro del dominio no hay una ‘biyección’ entre A y el conjunto de los naturales– y que a la vez el dominio entero sea enumerable –y por tanto lo sean todos los objetos que hacen el papel de ‘elementos’ de A–. Desde fuera del dominio se puede reconocer una colección de pares que establece una biyección entre los elementos de A y los naturales, pero simplemente esa colección no es un ‘conjunto’, no forma parte del dominio. Por supuesto, en el dominio tendremos, además de N, otro objecto pN que es el ‘conjunto’ de todos sus subconjuntos, pero este ‘conjunto’ sólo es no-enumerable visto desde dentro del dominio: todos sus ‘elementos’ son claramente enumerables por pertenecer a un modelo enumerable.
Tras plantear la paradoja de Skolem, resultado inevitable de la completa formalización del sistema axiomático, y explicar su naturaleza, el noruego sacaba la principal consecuencia: “axiomatizar la teoría de conjuntos conduce a una relatividad de las nociones conjuntistas, y esta relatividad está inseparablemente ligada a la plena axiomatización”.
Skolem confesaba su sorpresa al ver que tantos matemáticos encontraban en los axiomas ZFC una “fundamentación ideal” para las matemáticas, cuando en su opinión no es así en absoluto. Nociones clave, como las de ‘enumerable’ y ‘no enumerable’ quedan relativizadas; incluso las de ‘finito’ e ‘infinito’ se ven afectadas. Por eso Skolem se declaró partidario de una fundamentación que trabaje con nociones más naturales e inmediatamente claras, como son el concepto de número entero y las inferencias por inducción matemática.
En otros trabajos, también muy importantes, Skolem desarrolló (sin emplear cuantificadores) la aritmética recursiva primitiva, que tanto juego daría en manos de Gödel, y fue el primero en demostrar la existencia de modelos no estándar de la aritmética formalizada.
Skolem no era un dogmático, pero estaba convencido de que el tratamiento finitista de las matemáticas es el punto de partida más riguroso. Probablemente sea más dogmática la actitud de quienes atribuyen un sentido absoluto a la idea de lo ‘super-numerable’ (y aquí habría que recordar la indecidibilidad de la hipótesis del continuo de Cantor, resultado que ya sospechaba Skolem en 1922, nos consta por una nota al pie de su artículo). Sin embargo, esta posición finitista es vista por muchos como demasiado extrema, y sus motivaciones como demasiado filosóficas. El finitismo quedó como una posición minoritaria, pero las contribuciones de Skolem son elementos fundamentales de la lógica matemática.
Nos dice su biógrafo Fenstad que Skolem era muy modesto y reservado. Era un matemático muy creativo, interesado en campos nuevos. No creó una escuela, aunque inspiró con sus grandes logros a más de uno de los matemáticos noruegos más jóvenes. Tras el retiro, siguió muy activo como investigador, publicando y visitando en varias ocasiones universidades americanas.
Para saber más:
los artículos clave de Skolem, citados arriba, se encuentran en el recopilatorio de J. van Heijenoort, From Frege to Gödel (1967, 2002).
Selected Works in Logic, editado por Jens E. Fenstad (Oslo 1970), está descatalogado hace mucho tiempo, pero un esbozo biográfico de Fenstad puede encontrarse en versión digital: https://www.hf.uio.no/ifikk/forskning/publikasjoner/tidsskrifter/njpl/vol1no2/skobio.pdf
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