Como hemos visto en las dos últimas entradas, para explicar los fenómenos del mundo subatómico aparecieron casi al mismo tiempo dos teorías basadas en matemáticas muy distintas. Por un lado la mecánica cuántica (así se referían a la mecánica matricial sus creadores Heisenberg, Born y Jordan) y, por el otro, la mecánica ondulatoria de Schrödinger. En esta entrada contaremos un poco más sobre ambas.
Si bien la primera formulación de la mecánica cuántica fue la matricial, hoy día es apenas tratada. ¿Por qué? Hay dos razones fundamentales, la primera de ellas es que las matemáticas subyacentes eran tremendamente complicadas y nada conocidas para la mayoría de los físicos de la época. Es llamativo que Heisenberg, que era un completo desconocedor de dicha teoría matemática, fuese capaz de descubrirla. Eso sí, para desarrollarla tuvo que involucrarse Max Born, por aquel entonces catedrático en Gotinga y de quien Heisenberg era asistente. En la entrada anterior contamos cómo ocurrió el nacimiento de la mecánica cuántica por parte de Heisenberg, así que aquí vamos a contar con algo más de detalle lo que pasó a lo largo de los siguientes meses.
Como ya contamos, al regresar Heisenberg de Helgoland y yendo de camino a Cambridge, de donde había recibido una invitación para dar una conferencia, le entregó a Born su famoso manuscrito a primeros de julio de 1925, explicándole que no había podido ir más allá y, según el propio Born cuenta en su autobiografía, proponiéndole que este lo intentase. Cuando, pasado unos días, Born leyó el manuscrito de Heisenberg, se quedó fascinado por la idea de que la teoría debería basarse en explicar aquellas magnitudes físicas medibles como eran las amplitudes y las frecuencias de las líneas espectrales, más que la posición o la velocidad del electrón que para Heisenberg era más que obvio que no se podían observar en ningún experimento. Así lo cuenta en sus memorias [1, pag. 217]:
Después de haber enviado el artículo de Heisenberg al Zeitschrift für Physik para su publicación, comencé a reflexionar sobre su multiplicación simbólica, y pronto me involucré tanto en ella que pensaba durante todo el día en ello y casi no podía dormir por la noche, porque sentí que había algo fundamental detrás de esto, la consumación de nuestros esfuerzos de muchos años. Y una mañana, alrededor del 10 de julio de 1925, de repente vi la luz: la multiplicación simbólica de Heisenberg no era más que el cálculo matricial, bien conocido para mí desde mi época de estudiante gracias a las conferencias de Rosanes en Breslavia.
Efectivamente, Born, durante sus estudios universitarios en la Universidad de Breslavia, tuvo en 1900 como profesor a Jakob Rosanes, que lo introdujo en la teoría de las matrices de dimensión finita como herramienta esencial de la geometría analítica. En 1904 se muda a Gotinga, donde asiste a las clases de Hilbert y Minkowski. Como anécdota curiosa hay que decir que Hilbert quedó tan impresionado por las habilidades matemáticas de Born que lo tomó como asistente personal. Este puesto, aunque no remunerado, fue toda una suerte para el joven Born, ya que le permitió asistir a todas las clases de Hilbert para luego poder transcribirlas. En otras palabras, Born se empapó de todo el análisis matemático que se estaba desarrollando en Gotinga y que, a la postre, resultó ser la herramienta matemática de la mecánica cuántica.
Con estas ideas (el álgebra matricial) rondándole la cabeza el 19 de julio de 1925, Born partió para Hannover a una reunión de la Deutsche Physikalische Gesellschaft (Sociedad de Física Alemana), donde coincidió con su antiguo ayudante y colaborador Wolfgang Pauli, al que le propuso desarrollar la teoría de Heisenberg con él. Pero lo que recibió fue una negativa fría y sarcástica “Sí, sé que te gustan los formalismos tediosos y complicados. Solo vas a estropear las ideas físicas de Heisenberg con tus inútiles matemáticas”.
Por suerte para todos Born decidió no hacer caso a Pauli y junto a su otro ayudante Pascual Jordan, quien sí que se juntó al proyecto, desarrolló la idea de Heisenberg usando el cálculo matricial y juntos escribieron un artículo sobre la Mecánica cuántica, Zur Quantenmechanik, que fue recibido en Zeitschrift für Physik a finales de septiembre de 1925. Este segundo trabajo fue esencial, pues dotaba de un formalismo matemático a las ideas preliminares de Heisenberg, les aportaba el aparato formal sobre el que trabajar. Fue en ese trabajo donde apareció por primera vez una de las expresiones más famosas de la mecánica cuántica: las relaciones de conmutación entre las “variables” posición e impulso
$$p\, q – q\, p= \frac{h}{2\pi i}I,$$
donde \(p\) y \(q\) eran matrices infinitas que representaban las amplitudes de la posición y el impulso de las partículas subatómicas e \(I\) era la matriz con unos en su diagonal y cero en el resto. En ella entraba la constante de Plank \(h\) y la unidad imaginaria \(i\). Esta relación sería la clave de todo. En ella estaba condensada toda la teoría cuántica, incluso contenía en su interior el famoso principio de incertidumbre de Heisenberg, al que dedicaremos una próxima entrada. El propio Born, muchos años después, reconoció que el descubrimiento de esa relación fue el clímax de su carrera científica (figura en su epitafio) afirmando:
Este resultado me conmovió igual que el navegante, después de un largo viaje sin rumbo, se conmueve al divisar la tierra buscada; lo único que lamentaba era que no estuviera allí Heisenberg.
Heisenberg se enteró de los resultados de sus colegas durante sus vacaciones y pidió a Jordan los detalles para ponerse al día y no repetir los mismos cálculos que ellos y se puso a trabajar con el nuevo formalismo matricial en septiembre estando ya en Copenhague, formalismo que le era desconocido en ese momento tal y como contó años después a Jagdish Mehra [2]:
Yo no sabía que esas cosas que había usado en mi artículo eran matrices. Nunca había tomado un curso sobre teoría matricial. Por supuesto, sabía cómo resolver ecuaciones lineales de una manera trivial como se aprende en la escuela, pero nunca había aprendido el esquema general de matrices y no sabía que las matrices pueden representar grupos. Entonces, cuando supe de Born que lo que había hecho era realmente un ejemplo de multiplicación de matrices, me interesó mucho, pero era nuevo para mí. […] En mi artículo, el hecho de que el producto XY no fuese igual a YX fue muy desagradable para mí. Sentí que este era el único punto de dificultad en todo el esquema, de no ser por eso sería perfectamente feliz. Pero esta dificultad me había preocupado y no fui capaz de resolverla.
Esa dificultad la resolverían juntos Born, Heisenberg y Jordan en su único artículo conjunto sobre la mecánica cuántica (o mecánica matricial, como la bautizaron el resto de los físicos). En ese trabajo, conocido en el mundo de la física como el Dreimännerarbeit, (trabajo de los tres hombres) está el desarrollo completo de la mecánica matricial. Si el lector domina el análisis moderno descubrirá asombrado como Born y sus dos ayudantes usan en 1925 los resultados de Hilbert sobre lo que hoy día llamamos espacios de Hilbert, resultados descubiertos y publicados por Hilbert y sus discípulos en los 15 años anteriores. En particular, se dan cuenta de que están tratando con espacios de dimensión infinita y los problemas asociados a ello, de que las formas cuadráticas que utilizan son no acotadas, de que las matrices (o sus operadores correspondientes) tienen un espectro continuo y no solo discreto (como es el caso de las matrices de dimensión finita), etc. En otras palabras, eran conscientes de los problemas matemáticos que había detrás de su formalismo.
Para que el lector tenga una idea de lo que hablamos mostraremos el ejemplo del espectro. Tomemos una una matriz \(A\) de tamaño \(3 \times 3\) (en general \(N \times N\)). Su espectro es el conjunto de los \(\lambda\) tales que
$$ A \cdot x = \lambda x,\quad x\neq 0, $$
siendo \(x\) un vector \(x=(x_1,x_2,\dots x_n)\) (hay que recordar que estamos usando la multiplicación de matrices). Es un resultado bien conocido del álgebra lineal que existen exactamente \(N\) números (complejos, en general) \(\lambda_ 1,\lambda_ 2,\dots,\lambda_N\) (no necesariamente distintos) tales que cumplan la ecuación anterior. En el caso que nos ocupa de la mecánica cuántica, las matrices \(A\) son simétricas (en general hermíticas), por lo que dichos \(\lambda\) son números reales. Por ejemplo, para la matriz
$$A=\begin{pmatrix}
3&1&0\cr
1&3&2\cr
0&2&3\cr
\end{pmatrix},
\quad
\lambda_1=3, \quad
\lambda_2=3-\sqrt5,\quad
\lambda_3=3+\sqrt5.
$$
Los valores \(\lambda\) se denominan autovalores de \(A\) y los correspondientes vectores \(x\) son los autovectores. Sin embargo, si la dimensión es infinita, la situación es mucho más compleja y hay que hablar del espectro de \(A\) en vez de los autovalores. Por ejemplo, el espectro de la matriz infinita
$$ \begin{pmatrix}
3 & 1 & 0 & 0 & 0 & \dots \cr
1 & 3 & 2 & 0 & 0 & \dots \cr
0 & 2 & 3 & 1 & 0 & \dots \cr
0 & 0 & 1 & 3 & 2 & \dots \cr
0 & 0 & 0 & 2 & 3 & \dots \cr
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots\cr
\end{pmatrix}$$
está formado por un «autovalor» discreto \(\lambda_1=3\) y un conjunto infinito de \(\lambda\); los pertenecientes al intervalo \([0,2]\cup[4,6]\) (espectro continuo).
Así, Born y sus colegas eran conscientes de que tratar con el caso infinito requería cierto cuidado. Lo curioso es que la teoría matemática estaba desarrollada para matrices \(A\) que correspondían al caso de formas cuadráticas acotadas, pero Born era consciente de que ese no era su caso. A este respecto vale la pena citar la frase incluida en dicho artículo en un pie de página del capítulo 3 (un capítulo íntegramente escrito por Max Born) “Pero aquí solo nos interesan las formas no acotadas. No obstante, podemos suponer que, en general, las reglas se ejecutan de la misma manera”. Esta ha sido, en muchos casos, la forma habitual de trabajar de muchos físicos teóricos (que en muchos casos se sigue manteniendo hoy día), asumir que lo que funciona para ciertos casos va a funcionar en general, algo que no es cierto necesariamente (de hecho es falso muchas veces). Afortunadamente para todos, los resultados asumidos por Born resultaron ser ciertos, aunque requirieron de un esfuerzo matemático nada desdeñable. Entre los que resolvió muchos de los problemas matemáticos de la naciente teoría cuántica estaba John von Neumann, otro brillante matemático que pasó un tiempo en Gotinga. Pero dejemos que lo cuente Norman Macrae, quien escribió una magnífica biografía de John von Neumann:
En las primeras semanas de Johnny en Gotinga en 1926, Heisenberg dio una conferencia sobre la diferencia entre su teoría y la de Schrödinger. El anciano Hilbert, catedrático de matemáticas, le preguntó a su asistente de física, Lothar Nordheim, de qué diablos estaba hablando ese joven Heisenberg. Nordheim envió al profesor un trabajo que Hilbert no entendió. Para citar al propio Nordheim, como se registra en el libro de Heims: «Cuando von Neumann vio el trabajo [de Heisenberg], lo transformó en unos pocos días en una elegante forma axiomática del agrado de Hilbert». Para el deleite de Hilbert, la exposición matemática de Johnny hizo mucho uso del propio concepto de Hilbert del espacio de Hilbert.
El desconocimiento por parte de los físicos de la época de las técnicas matriciales queda patente en la carta que Einstein le escribió a su amigo Paul Ehrenfest el 20 de noviembre de 1925:
“Heisenberg ha puesto un gran huevo cuántico. En Gotinga lo creen (yo no) –Heisenberg hat ein grosses Quantenei gelegt. In Göttingen glauben sie daran (ich nicht)-.
El propio Pauli escribía en octubre de 1925 a Ralph Kronig:
La mecánica de Heisenberg me ha vuelto a dar esperanza y alegría de vivir. Aún no ha dado la solución del enigma pero creo que, nuevamente, es posible seguir adelante. Primero hay que conseguir liberar la mecánica de Heisenberg de la erudición formal de Gotinga [es decir, Max Born] y exponer mejor su esencia física.
Curiosamente, Heisenberg, quien se enteró de la opinión de Pauli por el propio Kronig, le respondió airadamente, algo raro en el joven Heisenberg, el 12 de octubre de 1925:
Con respecto a sus dos últimas cartas, debo darle un sermón y pedirle perdón por continuar en bávaro: es realmente una porquería que no puedas dejar de meterte en una pelea de difamaciones. Tu eterna injuria a Copenhague y Gotinga es un escándalo atroz. Tendrás que concedernos en cualquier caso que no pretendemos arruinar la física por mala intención. Cuando nos reprochas que somos unos burros tan grandes que nunca hemos producido nada nuevo en física, bien puede ser cierto. Pero claro, también eres un imbécil igualmente grande porque tampoco lo has logrado… (¡Los puntos denotan una maldición de unos dos minutos de duración!) No pienses mal [de mí] y muchos saludos.
Como curiosidad, el 23 de octubre de 1925 Heisenberg se disculpó con Pauli por su airada respuesta excusándose de haber estado tres días intentando entender el problema del espectro continuo que Born había explicado sin entender nada (vamos, que estaba muy estresado). La consecuencia de la carta del 12 de octubre no se hizo esperar. Pauli, que tenía unas aptitudes matemáticas excepcionales (y sin ninguna duda herido en su amor propio), tardó tres semanas en enviarle a Hesienberg la resolución del problema del espectro del átomo de hidrógeno, o sea, la explicación usando la nueva mecánica cuántica de la teoría atómica de Bohr. La nueva mecánica acababa de aprobar su primer gran test.
Eso sí, las matemáticas de la mecánica cuántica seguían siendo oscuras para la mayoría de los físicos, así que cuando Schrödinger publicó su mecánica ondulatoria estos respiraron aliviados. Einstein dedicó palabras elogiosas a Schrödinger, y la mayoría de los físicos estaban encantados. La comunidad científica estaba dividida entre los defensores de una y otra. No vamos a contar aquí algunas de las jugosas anécdotas (por no decir peleas) entre los partidarios de una u otra formulación. Lo que sí haremos es mencionar que, curiosamente, Schrödinger publicó un artículo “probando” la equivalencia de ambos formalismos titulado Über das Verhältnis der Heisenberg-Born-Jordanschen Quantenmechanik zu der meinem (Acerca de la relación entre la mecánica cuántica de Heisenberg-Born-Jordan y la mía) publicado el 4 de mayo de 1926 en Annalen der Physik (también Jordan y Dirac “probarían” la equivalencia). En él escribía:
No estoy al tanto de ninguna relación [de la mecánica ondulatoria] con la mecánica matricial de Heisenberg. Naturalmente, sabía acerca de su teoría, pero me desanimó, si no me repugnó, lo que me parecieron unos métodos muy difíciles del álgebra trascendental, desafiando cualquier visualización.
Algo que le sentó muy mal al propio Heisenberg quien le confiaba a Pauli en una carta del 8 de junio de 1926:
Un comentario no oficial más sobre la física, por cierto: cuanto más pienso en la parte física de la teoría de Schrödinger, más espantosa la encuentro. Lo que escribe Schrödinger sobre la visualización de su teoría «probablemente no sea del todo correcto» [un eco de Bohr], en otras palabras, es una mierda. […] Pero disculpa esta herejía y no se lo cuentes a nadie.
Hemos de decir que las pruebas de Schrödinger, Jordan y Dirac no eran lo suficientemente rigurosas desde el punto de vista matemático y fue otra vez von Neumann quien resolvió el problema en una serie de trabajos entre 1927 y 1929, culminando con el ya mencionado “Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik” (Fundamentos Matemáticos de la Mecánica Cuántica) publicado por primera vez el 1932 y traducido del alemán al inglés en 1955. La explicación es demasiado técnica para incluirla aquí, pues requiere de refinados teoremas del análisis funcional en espacios de Hilbert. El lector interesado puede consultar a ese respecto el magnífico trabajo [3].
Peleas aparte, tanto Heisenberg como Schrödinger recibieron el premio Nobel por sus aportaciones a la mecánica cuántica. Heisenberg en 1932 y Schrödinger junto a Dirac en 1933. Max Born tuvo que esperar a 1954, algo que le molestó mucho (siempre se quejó de que solo se reconociera el trabajo de Heisenberg y no el suyo con Jordan). Pauli lo recibió en 1945. Jordan nunca fue galardonado por su trabajo (se especula que por su estrecha relación con el partido nazi, ya que se alistó en él en 1933 e incluso fue miembro de las SA hitlerianas, aunque nunca formó parte del movimiento Deutsche Physik). Max Born fue una de las primeras víctimas de la persecución nazi a los judíos y tuvo que huir de Alemania en 1933 al enterarse al leer el periódico de que iba a ser expulsado de la Universidad. Desde el exilio, Born ayudó a muchos colegas judíos a huir de Alemania.
Como hemos visto en esta entrada, las matemáticas resultaron esenciales a la hora de desentrañar los misterios del mundo cuántico. El conocimiento de las técnicas matemáticas adecuadas (la teoría de matrices para los físicos de Gotinga o la teoría de ecuaciones diferenciales y problemas de contorno en el caso de Schrödinger —el caso de Dirac merece una entrada aparte) fue esencial para poder construir una teoría completa del micromundo. Ahora bien, como muchos físicos se dieron cuenta (entre ellos los reputados Einstein o Sommerfeld por citar algunos), es que en ambos casos quedaba mucho por entender desde el punto de vista físico. Estaba el problema de la “visualización” de la que hablaba Schrödinger y que tanto molestaba a Heisenberg, y cómo no, el ya mencionado problema de qué era esa dichosa función de onda de Schrödinger, a la que se le unía también la interpretación de los autovectores \(x\) de las matrices de Heisenberg. Pero eso estaba a punto de ser resuelto por… Max Born, quien al usar ambos esquemas juntos (el matricial y el ondulatorio) fue capaz de dar una explicación que, junto al famoso principio de incertidumbre de Heisenberg, cambió no solo la forma del ver el Mundo (la naturaleza) sino la propia filosofía. Pero eso, amigo lector, tendrá que esperar a otra entrada.
Quiero terminar esta con una declaración de principios de Niels Bohr sobre lo que él esperaba acerca de la relación entre la física y la matemática, cuya actualidad es más que evidente, y que apareció al final de su artículo publicado en Nature, vol. 116, pág. 845–852 (1925) bajo el título Atomic Theory and Mechanics:
Interesará a los círculos matemáticos saber que los instrumentos matemáticos creados por el álgebra superior juegan un papel esencial en la formulación racional de la nueva mecánica cuántica. Así, las demostraciones generales de los teoremas de conservación de la teoría de Heisenberg realizadas por Born y Jordan se basan en el uso de la teoría de matrices, que se remonta a Cayley y fue desarrollada por Hermite. Es de esperar que haya comenzado una nueva era de estimulación mutua entre la mecánica y las matemáticas. Al físico le parecerá, en primer lugar, deplorable que en los problemas atómicos nos hayamos encontrado aparentemente con tal limitación de nuestros medios habituales de visualización. Este arrepentimiento, sin embargo, tendrá que dar paso al agradecimiento de que las matemáticas, también en este campo, nos brinden las herramientas para preparar el camino para un mayor progreso.
En otras palabras, es mucho más interesante cuando la física y las matemáticas van juntas que separadas, pero de eso ya hablamos aquí y aquí.
Referencias:
[1] Max Born, My life. Recollections of a Nobel laureate. Taylor & Francis.
[2] Jagdish Mehra, Helmut Rechenberg-The Historical Development of Quantum Theory. Vol. 3 The Formulation of Matrix Mechanics and Its Modifications, 1925-1926, Springer, 1982.
[3] Carlos M. Madrid Casado, De la equivalencia matemática entre la Mecánica Matricial y la Mecánica Ondulatoria, Gaceta de la Real Sociedad Matematica Española, Vol. 10, Nº 1, 2007, págs. 103-128.
Más sobre Heisenberg y los primeros días de la mecánica cuántica se puede leer en
D.C. Cassidy, Beyond Uncertainty. Heisenberg, Quantum Physics, and The Bomb. Bellevue Literary Press, 2009.
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