Publicamos la solución al divertimento La balanza trucada. Gracias a Pablo Cano, Marcos Jiménez y Manuel Zambrana y Jorge Santoro por las soluciones que nos han enviado.
Divertimento:
Una comerciante vende arroz utilizando una balanza que tiene un brazo más largo que otro y una única pesa de 1 kg.
Para no levantar sospechas cambia la pesa de lado después de cada venta, usando a su favor el defecto en la balanza en la primera operación de cada día. Así -se dice a sí misma- si en una mañana vendo 10 kg de arroz no obtengo ningún beneficio adicional, pero si vendo 11 kg gano algo en la última operación. No es gran cosa pero tampoco está bien ser muy avariciosa, y el negocio no va tan mal: todos los días vendo algo de arroz.
Hay días en los que, efectivamente, esta artimaña no le proporciona beneficio o pérdida alguno. Demostrar que la razón entre las longitudes de los brazos de la balanza es un número racional.
Solución:
Sean \(a\) y \(b\) las longitudes de los brazos de la balanza, con \(a > b\), y \(M\) el precio de 1kg de arroz. Comenzamos observando que la comerciante, en contra de lo que piensa, pierde dinero con cada dos ventas consecutivas en las que cambia la pesa de sitio. Según la ley de la palanca, en cada venta con la balanza a su favor despacha arroz por valor \(Mb/a\)€ y percibe \(M\)€, y en cada venta con la balanza en su contra despacha arroz por valor \(Ma/b\)€ y percibe \(M\)€. Por tanto, la diferencia entre el valor del arroz que entrega y el dinero que recibe es siempre positiva:
$$\frac{b}{a}M + \frac{a}{b}M – 2M = M \frac{(a-b)^2}{ab} >0$$
Se deduce que la comerciante sale perjudicada por esta práctica los días que vende arroz un número par de veces. Por tanto, en un día en el que no sale perjudicada ni beneficiada realiza necesariamente una cantidad impar de ventas \(2N+1\), con \(N >1\). Si la desventaja que le causa la balanza en las \(2N\) primeras ventas iguala a la ventaja de la última venta, se debe cumplir la igualdad
$$N M \frac{(a-b)^2}{ab} = M – M\frac{b}{a},$$
de donde
$$N \frac{(a-b)^2}{ab} = \frac{a-b}{a}, \qquad N= \frac{ab(a-b)}{(a-b)^2a} =\frac{b}{a-b}. $$
Por tanto,
$$\frac{1}{N} = \frac{a-b}{b} = \frac{a}{b}-1 , \qquad \frac{a}{b} = 1+ \frac{1}{N} \in \mathbb{Q}.
$$
Hay un error en la solución que planteáis. La igualdad
N(a-b)^2/ab = (a-b)/b
debe ser
N(a-b)^2/ab = (a-b)/a
Esto conduce a
a/b= 1+1/N o b/a = (N+1)/N
Cierto, Jorge. Ya está corregido, muchas gracias por avisar.