Solución: un punto en la mediatriz

Publicamos la solución al divertimento Un punto en la mediatriz. Gracias a Pablo Cano, Marcos Jiménez y Manuel Zambrana y Jorge Santoro por las soluciones que nos han enviado.

Divertimento:

Sea ABC un triángulo equilátero. Cualquier punto P de la mediatriz de BC, exceptuando A, verifica que para cierto valor \(\lambda >0\),

$$d(P,B)=d(P,C) = \lambda \cdot d(P,A).$$

Pero dado \(\lambda >0\) , no es evidente que haya un punto P en la mediatriz que verifique esta igualdad ni que, de haberlo, haya solo uno. Se pide discutir según los valores del parámetro cuándo hay un solo punto P en la mediatriz que verifica la igualdad anterior, cuándo hay más de uno y cuándo no hay ninguno.

Solución:

Consideramos el triángulo equilátero \(ABC\) de lado \(l\) y sea \(P\) un punto de la mediatriz de \(BC\).

Consideremos primero que \(P\) está en la semirrecta que corta al triángulo (en \(A\)). El triángulo \(ABP\) tiene el lado \(AB=l\) , el lado \(PA=x\) y el lado \(PB=\lambda x\) ; el ángulo \(BAP\) será \(30^\circ\) si \(P\) se encuentra en el interior del triángulo o \(150^\circ\) si no, y denotemos \(ABP=\alpha\) y \(APB=\beta\). En cualquier caso, el ángulo \(ABP\) verifica \(0^\circ<\alpha\leq 60^\circ\), teniendo en cuenta que los valores del intervalo \((0,30^\circ)\) se alcanzan dos veces, mientras que el resto solo una.

Por el teorema del seno, se tendrá

$$ \frac{\lambda x}{\text{sen}\, 30^\circ}=\frac{\lambda x}{\text{sen}\, 150^\circ}=\frac{x }{\text{sen}\, \alpha}=\frac{l}{\text{sen}\, \beta} $$

La segunda igualdad conduce a

$$ \text{sen}\, \alpha=\frac{1}{2\lambda}. $$

En el rango de valores que tiene el ángulo, se verifica:

• Existe un único ángulo \(\alpha\) si $$\frac{1}{2} \leq \text{sen}\, \alpha \leq \frac{\sqrt{3}}{2}, \qquad \frac{\sqrt{3}}{3} \leq \lambda \leq 1.$$
• Existen dos valores del ángulo \(\alpha\) si $$0 < \text{sen}\, \alpha < \frac{1}{2}, \qquad 1< \lambda < \infty.$$
• No existe ningún valor posible de \(\alpha \) si $$ \text{sen}\, \alpha > \frac{\sqrt{3}}{2}, \qquad 0<\lambda<\frac{\sqrt{3}}{3}. $$

Supongamos ahora que \(P\) está en la semirrecta de la mediatriz que no corta al triángulo. Con las mismas notaciones, tendremos ahora que \(60^\circ < \alpha < 150^\circ\).

Por tanto, se tiene que

• Existe un único ángulo \(\alpha\) si \(\text{sen}\,\alpha=1\) o $$\frac{1}{2} < \text{sen}\, \alpha \leq \frac{\sqrt{3}}{2}, \qquad \lambda=\frac{1}{2} \vee\frac{\sqrt{3}}{3} \leq \lambda < 1.$$
• Existen dos valores del ángulo \(\alpha\) si $$\frac{\sqrt{3}}{2} < \text{sen}\, \alpha < 1, \qquad \frac{1}{2}< \lambda < \frac{\sqrt{3}}{3}.$$
• No existe ningún valor posible de \(\alpha \) si $$ \text{sen}\, \alpha \leq \frac{1}{2}, \qquad 1\leq\lambda<\infty. $$
• Además, es imposible que \(\text{sen}\,\alpha>1\), luego tampoco hay ningún punto si $$0<\lambda<\frac{1}{2}.$$

En resumen, reuniendo todas los casos anteriores:

• Si \(0<\lambda < \frac{1}{2}\), no hay ningún punto.
• Si \(\lambda=\frac{1}{2}\), hay solo un punto.
• Si \(\frac{1}{2} < \lambda < \frac{\sqrt{3}}{3}\) hay dos puntos, ambos en la semirrecta que no corta al triángulo.
• Si \(\frac{\sqrt{3}}{3} \leq \lambda <1\) hay dos puntos, uno en cada semirrecta.
• Si \(\lambda=1\) hay un solo punto (el centro del triángulo).
• Si \(\lambda >1\) hay dos puntos, ambos en la semirrecta que corta al triángulo.