Solución: Las agujas del reloj

Publicamos la solución al divertimento de las agujas del reloj. Gracias a Pablo Cano, Marcos Jiménez y Manuel Zambrana, Fernando López y José Antonio Mayor por las soluciones que nos han enviado.

Divertimento:

¿En qué momento del día forman las tres agujas de un reloj tres regiones iguales, delimitando dos a dos tres ángulos de \(120^\circ\)?

Solución:

Aunque no sea lo usual, situemos el origen de la circunferencia de nuestro reloj en el número \(12\), y supongamos que el sentido de giro es el habitual en un reloj (aunque negativo normalmente). En ese caso, el horario el minutero y el segundero se desplazarán con velocidades angulares \(\pi/6\), \(2\pi\) y \(120\pi\), respectivamente, en radianes por horas. Por consiguiente, en un instante de tiempo \(t>0\), describirán con el origen los ángulos respectivos \(\pi t/6\), \(2\pi t\) y \(120\pi t\).

Por tanto, las agujas describirán entre ellas ángulos de \(\frac{2\pi}{3}\) radianes si y solo si
$$\frac{\pi}{6}t-2\pi t=\frac{2\pi}{3}+2k\pi \text{ y } 2\pi t-120\pi t=\frac{2\pi}{3}+2k’\pi,\text{ o }$$
$$\frac{\pi}{6}t-120\pi t\frac{2\pi}{3}+2k\pi \text{ y }=120\pi t-2\pi t=\frac{2\pi}{3}+2k’\pi,$$

para ciertos enteros \(k, k’\). Equivalentemente, multiplicando por \(6/\pi\) ambas igualdades, es lo mismo decir que
$$t-12t \equiv 12t-720t \equiv 4 \mod 12, \text{ o }$$
$$t-720t \equiv 720t-12t \equiv 4 \mod 12.$$

En el primer caso, tendríamos entonces que \(11t\equiv 708t\equiv 8\mod 12\). En ese caso, trabajando módulo \(12\), llegaríamos a que \(0\equiv 708\cdot 8\equiv 708\cdot 11t= 708t\cdot 11\equiv 8\cdot 11\equiv 4\mod 12\), que es imposible.

En el segundo, obtendríamos que \(t-12t \equiv 12t-720t \equiv 8 \mod 12\), es decir, que \(11t\equiv 708t\equiv 4\mod 12\). Así, \(0\equiv 708\cdot 4\equiv 708\cdot 11t= 708t\cdot 11\equiv 4\cdot 11\equiv 8\mod 12\), que tampoco puede darse.

En conclusión, las agujas del reloj nunca delimitarán tres ángulos de \(2\pi/3\) radianes.

Existe un argumento alternativo similar al anterior, expuesto en algunas de las soluciones que nos han llegado. Con un razonamiento similar al inicial de la solución anterior, podemos afirmar que las velocidades angulares de las tres agujas \(\omega_h\), \(\omega_m\) y \(\omega_s\) deben verificar que, para ciertos enteros \(j\) y \(k\),
$$\omega_m=j+\omega_h+1/3,\quad \omega_s=k+\omega_h+2/3,$$

o las igualdades correspondientes cambiando \(\omega_m\) por \(\omega_s\), aunque es posible deducir una de la anterior. Ahora, notando como al principio que \(\omega_m=12\omega_h\) y \(\omega_s=720\omega_h\), se llega a que
$$33k-2157j=697.$$

Sin embargo, el término de la izquierda es múltiplo de \(3\), mientras que el de la derecha no, llegando a una contradicción.

Por último, Marcos Jiménez y Manuel Zambrana y Fernando López nos han indicado dos pares de soluciones casi perfectas, en las que las agujas describen ángulos muy cercanos a \(120^\circ\). Concretamente, estas cuatro horas (entre \(0\) y \(12\)) son, aproximadamente, \(2\!:\!54^{\prime}34^{\prime\prime}\), \(5\!:\!49^{\prime}9^{\prime\prime}\), \(6\!:\!10^{\prime}51^{\prime\prime}\) y \(9\!:\!05^{\prime}25^{\prime\prime}\). Les agradecemos su motivación e interés adicional.