¿Dios juega a los dados?

En las entradas tituladas Poniendo un poco de orden I, II y III hemos descrito el nacimiento de una nueva mecánica: la mecánica cuántica. Dicha mecánica estaba destinada a explicar lo que la mecánica newtoniana no era capaz de describir: el mundo de lo “infinitamente” pequeño. Como hemos ido contando a lo largo de esta sección del blog, los científicos fueron descubriendo poco a poco cómo explicar el mundo que los rodeaba. Dejaron atrás a los dioses y decidieron ir por su cuenta y riesgo. En la historia de la ciencia (occidental) hubo desde el punto de vista del que escribe esta entrada dos momentos cruciales: el primero, protagonizado por Galileo al resumir magistralmente lo que hoy día conocemos como método científico (del que se ha hablado aquí y aquí, por ejemplo), y el segundo, que coincide con la publicación de los Principia Mathematica por Sir Issac Newton, donde se formuló lo que hemos llamado el Programa de Newton.

Tras la publicación de los Principia hubo toda una explosión de estudios que desarrollaron hasta límites insospechados el conocimiento de la Naturaleza. Los métodos que estableció Newton parecía que funcionaban, dándole la razón al poeta inglés Alexander Pope, quien le dedicó a Newton el famoso epitafio: Nature, and Nature’s laws lay hid in night; God said, Let Newton be! and all was light. (La naturaleza y sus leyes yacían ocultas en la noche; Dijo Dios “que sea Newton” y todo se hizo luz.)

Efectivamente, siguiendo el programa de Newton se consiguieron establecer las leyes que regían los fenómenos mecánicos y electromagnéticos o se desarrolló una consistente teoría del calor (termodinámica), entre otros avances. Además vimos como a finales del siglo XIX, cuando todo parecía estar terminado y solo quedaban dos nubecillas que ensombrecían el horizonte de la física (las famosas nubecillas de Lord Kelvin), estas desembocaron en dos nuevas teorías que revolucionaron el mundo que conocemos de una forma difícilmente concebible en aquellos momentos.

La primera nubecilla, como ya contamos, era la inexplicable constancia de la velocidad de la luz, sin importar cómo se midiese, que desembocó en la teoría de la Relatividad de Einstein (primero la especial en 1905 y luego la general en 1915). De la segunda nubecilla nos hemos estado ocupando en una serie de entradas incluyendo las tres antes mencionadas.

Como contamos en dichas entradas, todo parecía empezar a tener sentido, especialmente cuando Schrödinger descubrió su ecuación de onda. Los físicos de la época estaban encantados de que por fin pudiesen tener a mano una teoría matemática asequible y no tan “retorcida” como la mecánica de matrices que proponían Heisenberg, Born y Jordan. Supuestamente con Schrödinger se volvía a un mundo continuo, a una física donde, con un poco de suerte, no habría esos mal vistos saltos cuánticos. A la elegante teoría de Schrödinger solo le quedaba por explicar una única cosa: ¿qué sentido físico tenía la dichosa función de onda \(\Psi\) que aparecía en la ecuación de Schrödinger? Esta entrada la dedicaremos a explicar lo que descubrió Max Born y que a la postre le valió merecidamente el premio Nobel de Física en el tardío año de 1954.

Pero antes de explicar el descubrimiento de Born y sus consecuencias conviene hacer un pequeño paréntesis histórico relacionado con la filosofía de la ciencia, que como veremos no estaba al margen de la física de principios del siglo XX. Por un lado estaban los físicos que apostaban por la mecánica cuántica (e.g., Bohr, Heisenberg, Pauli, Dirac) y por el otro los que preferían algo menos revolucionario, más acordes con las ideas clásicas (Einstein, Planck, Scrödinger, Wien, etc.). Hay dos anécdotas muy bien documentadas, ambas por Heisenberg. La primera es su discusión con Einstein acerca de la mecánica matricial.

En la primavera de 1926 Heisenberg fue invitado a dar una charla sobre su mecánica de matrices en Berlín, en el famoso coloquio de física, el centro de la física en esos momentos, la casa de Einstein o Planck entre otros. Tras la charla, Einstein pidió a Heisenberg que le acompañara a su casa para seguir discutiendo sobre la nueva mecánica. En sus memorias (Diálogos sobre la física atómica), Heisenberg da buena cuenta de dicha conversación. Vale la pena reproducir el comienzo de dicha conversación:

Lo que usted nos acaba de exponer suena de manera muy extraña —comenzó Einstein—. Usted admite que hay electrones en el átomo, y en esto, sin duda alguna, tiene razón. Pero las órbitas de los electrones en el átomo las quiere suprimir completamente, a pesar de que las trayectorias de los electrones se pueden ver de forma inmediata en una cámara de niebla. ¿Puede usted aclararme algo más exactamente las razones de estas curiosas suposiciones?

Las órbitas de los electrones en el átomo no se pueden observar —repliqué—; pero, a partir de la radiación emitida por el átomo en un proceso de descarga, cabe deducir inmediatamente las frecuencias de oscilación y las correspondientes amplitudes de los electrones en el átomo. El conocimiento de la totalidad de los números de oscilación y de las amplitudes es también en la física anterior algo así como un sustitutivo para el conocimiento de las órbitas electrónicas. Y como es razonable admitir en una teoría solo las magnitudes que pueden ser observadas, me pareció natural introducir solo estos conjuntos como representantes de las órbitas electrónicas.

Pero usted no cree seriamente —opuso Einstein— que se puedan aceptar en una teoría física únicamente las magnitudes observables.

¡Yo pensaba —respondí sorprendido— que precisamente usted había establecido este pensamiento como base de su teoría de la relatividad! […]

Tal vez haya utilizado yo este tipo de filosofía —respondió Einstein—; pero, a pesar de ello, resulta un contrasentido.

Lo que sigue es una discusión filosófica de primer orden a la que me referiré al final de esta entrada y que el lector interesado puede leer en la citada autobiografía de Heisenberg. Lo que resulta tremendamente interesante es el final de dicha charla, al menos como la recuerda Heisenberg. Einstein, que intentaba entender a toda costa la idea subyacente a la mecánica cuántica de Heisenberg, le preguntó:

¿Por qué cree usted con tanta firmeza en su teoría, si todavía están totalmente sin aclarar tantos problemas centrales?

A lo que Heisenberg contestó:

Creo, como usted, que la sencillez de las leyes de la naturaleza tiene un carácter objetivo, que no se trata solo de una economía del pensar. Cuando la naturaleza nos lleva a formas matemáticas de gran sencillez y belleza, a formas, digo, que hasta entonces no han sido alcanzadas por nadie, no se puede dejar de creer que son ‘verdad’, es decir, que representan un rasgo auténtico de la naturaleza. Puede ser que estas formas traten, además, de nuestra relación con la naturaleza, que se dé en ellas también un elemento de economía del pensar. Mas como no se habría llegado nunca espontáneamente a estas formas, como nos han sido dadas primeramente por la naturaleza, pertenecen ellas también a la misma realidad, no solo a nuestro pensamiento sobre la realidad. Me puede usted reprochar que emplee aquí un criterio estético de la verdad al hablar de simplicidad y belleza. Pero debo confesar que para mí emana una fuerza de convicción muy grande de la simplicidad y belleza del esquema matemático que nos es sugerido aquí por la naturaleza.

Uno no puede dejar de sorprenderse por esta defensa a ultranza de que la belleza matemática ha de constituir uno de los pilares sobre los que se construye la Ciencia. Sin duda un matemático estaría encantado, pero según Heisenberg había una razón mucho más importante: esa sencillez estaba estrechamente ligada al método científico y así se lo hizo saber a Einstein:

La sencillez del esquema matemático tiene además como consecuencia el que sea posible idear muchos experimentos cuyo resultado pueda calcularse de antemano con gran exactitud de acuerdo con la teoría. Si posteriormente los experimentos se llevan a cabo y llegan al resultado previsto, podrá concluirse con certeza que la teoría representa en este campo a la naturaleza.

Después de leer este argumento de Heisenberg es difícil no estar de acuerdo con él.

La segunda historia tiene que ver con la mecánica ondulatoria de Schrödinger. El propio Heisenberg cuenta que en el verano de 1926 Schrödinger fue invitado por Sommerfeld a dar una charla sobre la mecánica ondulatoria en Múnich, así que decidió pasar unos días en casa de sus padres (que vivían allí) para poder asistir a las charlas de este y poder discutir con Schrödinger sobre el tema. Así lo cuenta Heisenberg en sus memorias:

Schrödinger explicó primero los principios matemáticos de la mecánica ondulatoria, usando el modelo del átomo de hidrógeno, y todos nos sentimos entusiasmados al ver que un problema que Wolfgang Pauli solo había podido resolver de manera muy complicada con la ayuda de los métodos de la mecánica cuántica pudiera despacharse ahora, en forma elegante y sencilla, con métodos matemáticos convencionales. Pero Schrödinger habló al final, además, de su interpretación de la mecánica ondulatoria, a la cual yo no podía asentir. En la discusión que siguió propuse mis objeciones; especialmente me referí a que con la concepción de Schrödinger ni siquiera podía entenderse la ley de radiación de Planck. Pero esta crítica mía no tuvo resultado alguno. Wilhelm Wien respondió con agudeza que él comprendía, por un lado, mi pesar de que se acabara ya con la mecánica cuántica y de que no se necesitara hablar más de contrasentidos como los saltos de ‘quanta’ y otras cosas semejantes; pero esperaba, por otro lado, que las dificultades señaladas por mí serían, sin duda, solucionadas por Schrödinger en plazo breve. Schrödinger no estuvo tan seguro en su respuesta, pero también él pensaba que sólo era cuestión de tiempo el poder aclarar en su exacto sentido los problemas planteados por mí. Ninguno de los demás se sintió impresionado con mis argumentos. Incluso Sommerfeld, que me trataba siempre con cariño, no pudo escapar a la fuerza convincente de la matemática de Schrödinger.

Tras visitar Múnich, Schrödinger se fue a Copenhague invitado por Bohr (probablemente a causa de una carta de Heisenberg), donde fue sometido a un escrupuloso interrogatorio por parte de Bohr. Fue tan intenso que Schrödinger cayó enfermo. Lo sigue contando Heisenberg, que fue testigo del mismo:

Las discusiones entre Bohr y Schrödinger empezaron ya en la estación de Copenhague, y se alargaron cada día desde las primeras horas de la mañana hasta muy avanzada la noche. Schrödinger vivía en casa de los Bohr, de forma que, por razones externas, apenas si había ocasión para interrumpir el diálogo. Bohr era siempre singularmente respetuoso y afable en el trato con los demás. Sin embargo, en esta ocasión se comportó, a mi juicio, como un fanático empedernido, que no estaba dispuesto a hacer concesión alguna a su interlocutor o a permitir la más mínima falta de claridad. Es prácticamente imposible reproducir el apasionamiento de las discusiones por ambas partes y expresar el convencimiento profundamente arraigado que se podía palpar por igual en las argumentaciones de Bohr y de Schrödinger. […]

La discusión se prolongaba muchas horas de día y de noche, pero no pudo llegarse a un acuerdo. A los pocos días, Schrödinger se puso enfermo a consecuencia, tal vez, del enorme esfuerzo; tuvo que guardar cama por un resfriado con fiebre. La señora de Bohr le cuidaba y le llevaba té y pasteles, pero Niels Bohr se sentaba al borde de la cama y retornaba al tema con Schrödinger: «Usted tiene que comprender que…». No pudo llegarse a un auténtico entendimiento entonces, porque ninguna de las dos partes podía ofrecer una interpretación completa y acabada de la mecánica cuántica.

El propio Schrödinger recuerda su estancia en Copenhague en una carta a Wien del 21 de octubre de 1926: «La aproximación de Bohr a los problemas atómicos es realmente llamativa. Está completamente convencido de que cualquier comprensión en el sentido habitual de la palabra es imposible. Por consiguiente, la conversación casi inmediatamente se dirige hacia cuestiones filosóficas, y pronto uno no sabe si sostiene realmente la posición que él está atacando o si debe atacar la posición que él está defendiendo».

Pero la gota que colmó el vaso no fue la constatación de que ambas teorías eran matemáticamente equivalentes (como ya mencionamos en entradas anteriores), sino dos descubrimientos que dieron al traste con la forma de entender el mundo que nos rodea por parte de la física clásica. El primero de ellos fue debido a Max Born, quien dio con el significado físico de la función de onda de la ecuación de Schrödinger, que fue definitivamente una bomba en los cimientos de toda la física del momento.

Aunque los físicos de la época confiaban en que la mecánica ondulatoria resolviera el problema de la física cuántica, poco a poco se dieron cuenta de que había un problema de difícil solución: el de los saltos cuánticos. ¿Cómo explicar la emisión de fotones que tan claramente se veía en los espectros atómicos? La teoría de Schrödinger no daba respuesta a las discontinuidades de las que los saltos cuánticos eran un claro ejemplo. El propio Schrödinger, desesperado ante los muchos argumentos de Bohr en relación a la imposibilidad de eliminar los saltos cuánticos, le espetó: «Si por todo eso debemos limitarnos a esta condenada acrobacia de los ‘quanta’, lamento haber consagrado parte de mi tiempo a la teoría cuántica».

Fue en ese momento (mediados de 1926) cuando Max Born se dio cuenta de que una forma de entender lo que ocurría era estudiar las colisiones entre partículas, algo similar a lo que hizo Rutherford cuando descubrió, casi por accidente, el núcleo atómico.

Según la opinión de Schrödinger, las partículas no eran más que paquetes de ondas. Un paquete de ondas se puede desplazar por el espacio sin dispersarse, así que ¿por qué no asumir que en realidad las partículas no eran más que esos paquetes de onda concentrados en una pequeña región del espacio? Yendo más lejos, intentó convencer a sus colegas de que la función de onda que describía su ecuación podría representar los electrones.

No vamos a entrar a discutir los detalles, pero su intuición resultó falsa. Cuando Born usó la ecuación de Schrödinger para estudiar las colisiones y usó una idea originaria del propio Einstein en uno de sus intentos de explicar la dualidad onda-partícula para los fotones, descubrió algo muy distinto: durante una colisión, la onda que representaba la partícula (en su caso el electrón) se difuminaba. La siguiente animación muestra esquemáticamente la diferencia entre lo que debería ocurrir si, efectivamente, las partículas no fuesen más que un paquete de ondas que no puede dispersarse (lo que sugería Schrödinger) y lo que ocurría según Born, que el paquete tras la colisión se dispersaba. En la animación de abajo se muestra como el paquete de ondas tras la colisión con otra partícula (el punto rojo) mantiene su forma (que es lo que proponía Schrödinger) y arriba lo que descubrió Born, que tras la colisión el paquete se dispersaba hasta prácticamente desaparecer.

En su conferencia de aceptación del premio Nobel, Born nos lo cuenta con cierto detalle:

Un haz de electrones provenientes del infinito, representado por una onda incidente de intensidad conocida (i.e. \(|\Psi|^2\)) choca contra un obstáculo, digamos un átomo pesado. De la misma forma que una onda de agua producida por un barco provoca ondas circulares secundarias al chocar contra un poste, la onda de electrones incidente se transforma parcialmente en una onda esférica secundaria cuya amplitud de oscilación \(\Psi\) difiere en diferentes direcciones. El cuadrado de la amplitud de esta onda a una gran distancia del centro de dispersión determina la probabilidad relativa de dispersión en función de la dirección. Además, si el propio átomo de dispersión es capaz de existir en diferentes estados estacionarios, entonces la ecuación de onda de Schrödinger da automáticamente la probabilidad de excitación de estos estados, el electrón se dispersa con pérdida de energía, es decir, de forma inelástica, como se le llama. De esta manera fue posible obtener una base teórica para los supuestos de la teoría de Bohr que habían sido confirmados experimentalmente por Franck y Hertz.

Por fin una explicación plausible de los misteriosos saltos cuánticos dentro del átomo de Bohr. Pero Born era consciente de lo que estaba haciendo: estaba metiendo la indeterminación dentro de la física como nunca antes nadie lo había hecho. Tal es así que en su artículo original “Zur Quantenmechanik der Stossvorgänge” (Sobre la mecánica cuántica de los procesos de colisión) en Zeitschrift für Physik, recibido en la redacción de la revista el 25 de junio de 1926, escribió:

Por tanto, la mecánica cuántica de Schrödinger da una respuesta bastante definida a la cuestión del efecto de la colisión, pero no se trata de una descripción causal. No se obtiene respuesta a la pregunta «¿cuál es el estado después de la colisión?», sino solo a la pregunta «¿qué tan probable es un resultado específico de la colisión?» [… ]

Aquí surge todo el problema del determinismo. Desde el punto de vista de nuestra mecánica cuántica, no hay ninguna magnitud que en cada caso determine causalmente el resultado de la colisión, pero tampoco experimentalmente por el momento tenemos ninguna razón para creer que existan algunas propiedades internas del átomo que condicionen un resultado definitivo para la colisión. ¿Debemos esperar descubrir más tarde tales propiedades (…) y determinarlas en casos individuales? ¿O deberíamos creer que el acuerdo de la teoría y el experimento es una armonía preestablecida fundada en la inexistencia de tales condiciones? Yo mismo me inclino a renunciar al determinismo en el mundo de los átomos. Pero esa es una cuestión filosófica para la que los argumentos físicos por sí solos no son decisivos.

El planteamiento de Born era tan revolucionario que hubo de pasar un tiempo hasta que la comunidad científica lo asumiera. Ni a su colega Heisenberg le gustaba la idea… pero eso estaba por cambiar, cuando poco después el mismo Heisenberg descubriera el principio de incertidumbre que lleva su nombre y que vino a dar la estocada mortal al determinismo en la física, pero de esa historia nos ocuparemos en una próxima entrada.

Como colofón a esta entrada vale la pena reproducir los fragmentos de la carta de Einstein a Born fechada el 4 de diciembre de 1926, seguramente un tiempo después de haber leído su atrevida conclusión:

La mecánica cuántica es ciertamente imponente. Pero una voz interior me dice que aún no es real. La teoría dice mucho, pero en realidad no nos acerca al secreto del ‘viejo’. Yo, en todo caso, estoy convencido de que ‘Él’ no está jugando a los dados.

A partir de ese momento Einstein siempre insistió, a la hora de hablar sobre la mecánica cuántica, de que Dios no juega a los dados. Nada le hizo cambiar de opinión. A lo largo de su vida siempre sostuvo que la mecánica cuántica era incompleta. Así, en otra carta a Born (a quien le unía una gran amistad), fechada casi 20 años después, el 7 de septiembre de 1944, escribió:

Nos hemos convertido en antípodas en relación a nuestras expectativas científicas. Tú crees en un Dios que juega a los dados, y yo, en la ley y el orden absolutos en un mundo que existe objetivamente, y el cual, de forma insensatamente especulativa, estoy tratando de comprender […]. Ni siquiera el gran éxito inicial de la teoría cuántica me hace creer en un juego de dados fundamental, aunque soy consciente de que nuestros jóvenes colegas interpretan esto como un síntoma de vejez. Sin duda llegará el día en que veremos de quién fue la actitud instintiva correcta.

Al final Einstein “perdió” su apuesta (otra interesante para contar en el futuro), pues al parecer sí que se necesita de un juego de dados para poder explicar y predecir los fenómenos del mundo microscópico. No obstante, su frase Dios no juega a los dados se ha quedado para siempre en nuestro acervo cultural.

Para saber más:

[1] Werner Heisenberg, Diálogos sobre la física atómica. La Editorial Católica. Madrid. 1975. También disponible en la Colección Universal de Círculo de Lectores en el volumen titulado “Física cuántica (Werner Heisenberg, Niels Bohr, Erwin Schrödinger)” Círculo de Lectores. Barcelona. 1996.

[2] David Lindley, Incertidumbre. Einstein, Heisenberg, Bohr y la lucha por la esencia de la ciencia, Ariel, 2008.

[3] José Manuel Sánchez Ron, Historia de la física cuántica: I. El período fundacional (1860-1926), Drakontos, 2001.

Comentarios finales:

La traducción al inglés de la carta original en alemán de Einstein a Bohr es debida a la hija de Born, Irene Born, y está tomada de The Born-Einstein Letters. Correspondence between Albert Einsteinand Max and Hedwig Born from 1916 to 1955 with commentaries by Max Born, Macmillan Press, London and Basingstoke, 1971:

Quantum mechanics is certainly imposing. But an inner voice tells me that it is not yet the real thing. The theory says a lot, but does not really bring us any closer to the secret of the ‘old one‘. I, at any rate, am convinced that He is not playing at dice.

En alemán Einstein no se refiere al ‘viejo» sino a ‘Jacob’. David Lindley en [2] sostiene que se refiere al personaje bíblico, aunque en la traducción Irene Born opta por ‘el viejo’ que podría entenderse como Jacob o como Dios, lo que está de acuerdo con la frase posterior Dios no juega a los dados.

La imagen destacada está hecha con una superposición de la pintura de Rafael en la capilla Sixtina, los dados y un Einstein observador.

La animación que mostramos no corresponde a la ecuación de Schrödinger sino a ondas de sonido pero se ve el efecto al que se refería Born: la dispersión de las partículas. El fichero animado está tomado de este blog.