Solución: Progresiones aritméticas

Publicamos la solución al divertimento de las progresiones aritméticas. Gracias a F. Damián Aranda, Pablo Cano, Marcos Jiménez y Manuel Zambrana y Victoria Peña por las soluciones que nos han enviado. Se han recibido dos soluciones incompletas.

Divertimento:

Se considera el siguiente cuadrado de tres por tres en el que se han colocado algunos números:

		50
	40
10

Se desea colocar números enteros positivos en las restantes casillas de forma que los números situados en cada fila y cada columna formen progresiones aritméticas de diferencia no nula. Se pregunta:

1. ¿Cuántos cuadrados hay con estas características?
2. ¿Hay algún cuadrado de estos para el que la suma de todos los números colocados sea 360?
3. ¿Cuáles son los cuadrados en los que aparecen el mayor y el menor número posible?

Solución:

Denotemos por \(d_1,d_2,d_3\) las diferencias de las progresiones que forman las filas (de arriba a abajo) consideradas de izquierda a derecha y por \(e_1,e_2,e_3\) las de las progresiones que forman las columnas (de izquierda a derecha) consideradas de arriba a abajo. Atendiendo a las dos posibles maneras de construir cada número, podemos formar el siguiente sistema:
$$\left\{\begin{array}{rcl} d_1-e_1&=&20\\
d_2-e_1&=&30\\
d_1-e_2&=&10\\
d_3-e_2&=&30\\
d_2-e_3&=&10\\
d_3-e_3&=&20\end{array}\right..$$

Este sistema es compatible indeterminado y tiene como soluciones
$$\begin{array}{lll}d_1=\lambda,\quad& d_2=\lambda+10,\quad& d_3=\lambda+20,\\
e_1=\lambda-20,\quad&e_2=\lambda-10,\quad&e_3=\lambda.\end{array},$$
siendo \(\lambda\) un parámetro.

Ello implica que los números que aparecerán en el cuadrado con las propiedades deseadas son

\(50-2\lambda\)	\(50-\lambda\)	\(50\)
\(30-\lambda\)	\(40\)	\(50+\lambda\)
\(10\)	\(30+\lambda\)	\(50+2\lambda\)

a) Para que todos los números sean enteros y positivos , se debe pedir al parámetro que sea entero y que cumpla que
$$\begin{array}{lll}50-2\lambda>0,\quad& 50-\lambda>0,\quad& 30-\lambda>0,\\
50+\lambda>0,\quad&30+\lambda>0,\quad&50+2\lambda>0.\end{array},$$
es decir, \(-25<\lambda<25\).

Hay que pedir además  que las soluciones del sistema anterior sean no nulas, de modo que \(\lambda\) debe ser distinto de \(0,\pm10,\pm 20\). De este modo hay 44 cuadrados con las características pedidas de los que 22 son “originales” y los otros 22 son los obtenidos intercambiando las filas y las columnas de los primeros (simétricos respecto a la diagonal que no depende de \(\lambda\)).

b) La suma de los números que aparecen en las casillas del cuadrado es independiente del parámetro y es 360 siempre.

c) Los valores menor y mayor que aparecen en los cuadrados están en los construidos para los valores extremos del parámetro. Así, para \(\lambda=-24\), se obtiene

98	74	50
54	40	26
10	6	2

Y para \(\lambda=24\), el cuadrado obtenido intercambiando filas y columnas. El mayor número es 98 y el menor es 2.

Nota: Este divertimento está inspirado en un problema de From Erdös to Kiev. Problems of Olympiad Caliber. MAA, 1996 (pág. 93).