Solución: triángulos de perímetro dado

Publicamos la solución al divertimento Triángulos de perímetro dado. Gracias a Floro Damián Aranda Ballesteros, Pablo Cano Wall, Juan Miguel Expósito, Marcos Jiménez y Manuel Zambrana, Fernando López Blázquez, Victoria Peña Blanco y Cristóbal Sánchez-Rubio  por las soluciones que nos han hecho llegar.

Divertimento:

Consideremos un triángulo de perímetro igual a \(2p\) y lados \(a\geq b \geq c\). En unos ejes de coordenadas tomamos \(b\) como eje de abscisas y \(a\) como eje de ordenadas. Cada punto del plano tiene dos coordenadas que representan dos lados de un triángulo. Planteamos las siguientes preguntas:

1. Determina el recinto formado por aquellos puntos que corresponden a triángulos de perímetro \(2p\).
2. Divide dicho recinto en tres partes correspondientes al caso en que el triángulo es obtusángulo, rectángulo o acutángulo.

Solución:

Las condiciones del problema se traducen en las desigualdades \(a+b+c=2p\), \(0<c \leq b \leq a\) y \(a<b+c\), que son equivalentes a

$$a < 2p-b, \qquad b \leq a, \qquad a < p, \qquad a \geq 2p-2b $$

La región de puntos del plano \((b,a)\) que cumplen estas condiciones forman el triángulo de vértices \((p,p)\), \((p/2,p)\) y \((2p/3,2p/3)\).

Por otra parte, como \(a\) es el lado mayor, el triángulo es obtusángulo, rectángulo o acutángulo si el ángulo \(A\) opuesto al lado \(a\) es obtuso, recto o agudo, es decir, si \(\cos A\) es negativo, nulo o positivo. Teniendo en cuenta el teorema del coseno y que \(c = 2p-a-b\), se tiene que

$$\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} = \frac{a(2p-b)+b^2-2pb+2p^2}{bc}.$$

Así, triángulo es obtusángulo, rectángulo o acutángulo cuando se cumplen las desigualdades siguientes:

$$ a< \frac{b^2-2pb+2p^2}{2p-b}, \qquad a = \frac{b^2-2pb+2p^2}{2p-b}, \qquad a = \frac{b^2-2pb+2p^2}{2p-b}.$$

La primera desigualdad se corresponde con la región \(A_1\), la tercera con la región \(A_2\) y la segunda con la curva que separa ambas regiones.

Además, Manuel Jiménez y Marcos Zambrana han verificado mediante simulación de Monte Carlo las regiones obtenidas. Los triángulos obtusángulos se representan por puntos azules, los triángulos acutángulos por puntos rojos, y La frontera entre las regiones azul y roja corresponde a los triángulos rectángulos (\(p=1\)).