Publicamos la solución al divertimento El día del examen. Gracias a F. Damián Aranda Ballesteros, Rafael Benzal, Pablo Cano Wall, Marcos Jiménez y Manuel Zambrana y Adrián Macías Quintero por las soluciones que nos han hecho llegar.
Divertimento:
En un alarde de originalidad, y en lugar de indicar si el examen parcial tendrá lugar e indicar su fecha si procede, el profesor C. propone a sus alumnos el siguiente «divertimento»: en el día \(n\)-ésimo de clase deben rellenar una matriz \(n\times n\) con los números \(1,2,\ldots,n^2\). Si es posible hacerlo de modo que el producto de las entradas en cada fila y cada columna es el mismo, ese día se celebrará el examen.
Evidentemente, el primer día de clase no tuvo lugar el examen. ¿Se celebró en algún momento del curso? ¿En caso afirmativo, qué día?
Solución:
El examen no tuvo lugar en todo el curso, por muy largo que este fuera, porque es imposible distribuir los primeros \(n^2\) enteros positivos de la manera pedida en una matriz \(n\times n\).
En efecto, el postulado de Bertrand nos dice que para todo entero \(k>1\) existe un primo \(p\) tal que \(k<p<2k\). Si \(n\) es par, tomemos \(k=n^2/2\). Si \(n\) es impar, sea \(k=(n^2+1)/2\). De ese modo, \(p\leq2(n^2+1)/2=n^2+1\). Como \(n^2+1\) es par si \(n\) es impar y \(n^2\) es evidentemente compuesto, podemos concluir en particular que \(p<n^2\).
Por otro lado, como \(p>k\geq n^2/2\), tenemos que \(2p>n^2\), luego entre los números \(1,2,\ldots,n^2\) solo podemos encontrar un único múltiplo de \(p\), el propio primo. Por consiguiente, solo el producto de los elementos de la fila y la columna que contengan a \(p\) será divisible por \(p\), así que para \(n>1\) habrá siempre dos productos distintos entre las filas y entre las columnas independientemente de la disposición escogida.
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