Los babilonios usaron la base 60 para la numeración, todavía nos queda un vestigio en la forma que contamos el tiempo. \(60=2^2\cdot3\cdot5\) es un número con muchos divisores, a veces se les llamaba números redondos. Platón considera en el diálogo Las leyes el número $$7!=5040=2^4\cdot3^2\cdot5\cdot7$$ como el número perfecto de habitantes de una ciudad. En esta entrada contaré cómo la hipótesis de Riemann pone límites a estos números redondos.
Más precisamente, un número \(n\) es abundante si la suma de sus divisores \(\sigma(n)\) es mayor que \(2n\). Un número primo nunca es abundante, es deficiente porque \(\sigma(p)=1+p<2p\) , precisamente son los números con menos divisores, pero \(\sigma(12)=28>2\times12\) sí es abundante. También los hay perfectos como el 28, pues $$\sigma(28)= 1+ 2+ 4+ 7+ 14+28=2\times28=56.$$
La hipótesis de Riemann prohibe que los números sean demasiado abundantes como lo son \(60\) y \(5040\). Pero hay que definir exactamente que significa este «demasiado».
Grönwall, Ramanujan y Robin
Nuestra historia debe comenzar con Thomas Hakon Grönwall. En 1913 demostró $$\limsup_{n\to\infty}\frac{\sigma(n)}{n\log\log n}=e^\gamma,$$ siendo \(\gamma=0.577216\dots\) la constante de Euler. Su principal arma en la prueba es el teorema de Mertens $$\lim_{x\to\infty}\log x\prod_{p\le x}\Bigl(1-\frac{1}{p}\Bigr)=e^{-\gamma}.$$ Lo que nos dice el teorema de Grönwall es que para los números con muchos divisores tendremos aproximadamente $$\sigma(n)\asymp e^\gamma n\log\log n.$$
Admitiendo la hipótesis de Riemann, Ramanujan demuestra en 1915 que a partir de un cierto \(n_0\) se cumple $$\sigma(n)\le e^\gamma n\log\log n,\qquad n\ge n_0.$$ La prueba de Ramanujan no fue publicada, por la escasez de papel durante la Primera Guerra Mundial. Su trabajo era muy largo y la London Mathematical Society solo publicó 62 páginas de su trabajo, que era de más de 100 páginas. El trabajo de Ramanujan se publicó completo en 1988 como manuscrito y en una revista con notas en 1997.
En 1984, Guy Robin (sin conocer el resultado de Ramanujan) da una nueva prueba y mejora el resultado de Ramanujan.
Teorema (Robin). La hipótesis de Riemann es válida si y sólo si para \(n\ge 5041\) se cumple la desigualdad $$\sigma(n)<e^\gamma n\log\log n.$$
Robin excluye el número \(n=5040\), porque obviamente en este caso tenemos $$\sigma(5040)=19344>19237.06153\dots=e^\gamma 5040\log\log 5040.$$ Hay otras excepciones, la lista completa de números para los que \(\sigma(n)>e^\gamma n\log\log n\), es (admitiendo la hipótesis de Riemann) \begin{align*} 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 16, 18, 20, 24, 30, 36, 48,\\ 60, 72, 84, 120, 180, 240, 360, 720, 840, 2520, 5040.\end{align*} Si la hipótesis de Riemann es verdadera no existe ninguno más, en otro caso la sucesión es infinita. Como vemos, la hipótesis de Riemann impide dar un número igual de conveniente para la cantidad de familias en el mundo tal como 5040 lo es para la cantidad de habitantes de una ciudad.
Números colosalmente abundantes
Números con muchos divisores existen; Ramanujan, Erdös, Nicolas,… han definido clases de estos números. A nosotros nos interesa especialmente, para hacernos una idea de la demostración de Robin, la familia de los números colosalmente abundantes. Por el teorema de Grönwall sabemos que para todo \(\varepsilon>0\) fijo, \(\lim_n \sigma(n)/n^{1+\varepsilon}=0\). Por tanto la sucesión \((\sigma(n)/n^{1+\varepsilon})_n\) tiene un máximo. Es decir, existe \(N\) tal que $$\frac{\sigma(n)}{n^{1+\varepsilon}}\le \frac{\sigma(N)}{N^{1+\varepsilon}},\quad n\in\mathbb N.$$ Un número \(N\) para el que existe un \(\varepsilon>0\) con esta propiedad se dice que es colosalmente abundante. Los primeros son \begin{align*} &2, 6, 12, 60, 120, 360, 2520, 5040, 55440, \\& 720720, 1441440, 4324320, 21621600, \\& 367567200, 6983776800, 160626866400,\\& 321253732800, 9316358251200, \\& 288807105787200, 2021649740510400,\\& 6064949221531200, 224403121196654400\end{align*} La factorización de los números colosalmente abundantes es interesante: \begin{align*} 2 \quad& 2\\6 \quad&2\cdot3\\12 \quad& 2^2\cdot3\\60 \quad& 2^2\cdot3\cdot5\\120 \quad& 2^3\cdot3\cdot5\\360 \quad& 2^3\cdot3^2\cdot5\\2520 \quad& 2^3\cdot3^2\cdot5\cdot7\\5040 \quad& 2^4\cdot3^2\cdot5\cdot7\\55440 \quad& 2^4\cdot3^2\cdot5\cdot7\cdot11\\720720 \quad& 2^4\cdot3^2\cdot5\cdot7\cdot11\cdot13\\1441440 \quad& 2^5\cdot3^2\cdot5\cdot7\cdot11\cdot13\\4324320 \quad& 2^5\cdot3^3\cdot5\cdot7\cdot11\cdot13\end{align*}
El número 150 de la lista de colosalmente abundantes se factoriza como $$C_{150}=2^{11}\cdot3^7\cdot5^4\cdot(7\cdot11)^3\cdot(13\cdot17\cdot19\cdot23\cdot29\cdot31)^2\cdot(37\cdot41\cdots661),$$ donde al final entre paréntesis tenemos el producto de todos los primos desde el 37 hasta el 661.
El primer objetivo del trabajo de Robin es aclarar la estructura de los exponentes en la factorización de los números colosalmente abundantes. Se prueba que son de la forma $$N=\prod_{k=1}^r p_k^{a_k},\quad a_j\ge a_{j+1}.$$ Por tanto, tendremos que $$\frac{\sigma(N)}{N}=\prod_{x_2<p\le x}\Bigl(1+\frac1p\Bigr)\prod_{x_3<p\le x_2}\Bigl(1+\frac{1}{p}+\frac{1}{p^2}\Bigr)\cdots,$$ agrupando los factores de \(N\) que aparecen elevados a 1, a 2, etc.
Después establece, siendo \(f(n)=\frac{\sigma(n)}{n\log\log n}\), la proposición siguiente:
Proposición (Robin). Si \(3\le N\le n\le N’\), donde \(N\) y \(N’\) son números colosalmente abundantes consecutivos, se tiene $$f(n)\le \max(f(N), f(N’)).$$
Por consiguiente, si la hipótesis de Riemann es verdadera y además \(f(N)<e^\gamma\) para los números colosalmente abundantes, entonces \(f(n)<e^\gamma\) será cierto para todo \(n\). Y si la hipótesis de Riemann es cierta se puede demostrar que el primer valor de \(n\) en que no se cumple que \(f(n)<e^\gamma\) será un número \(n\) colosalmente abundante.
Robin, a continuación, suponiendo válida la hipótesis de Riemann, demuestra que \(f(N)<e^\gamma\) para los números \(N\) colosalmente abundantes y mayores que cierto \(n_0\). Para ello usa la expresión de \(\sigma(N)/N\) que hemos visto antes y termina probando que $$\frac{\sigma(N)}{N\log\log N}\le e^\gamma\exp\Bigl(\frac{2+c-2\sqrt{2}}{\sqrt{x}\log x}+O\Bigl(\frac{1}{\sqrt{x}\log^2x}\Bigr)\Bigr),$$ siendo \(x\) el mayor primo que divide a \(N\) y $$c=\sum_\rho\frac{1}{|\rho|^2},$$ donde \(\rho\) recorre los ceros no triviales de \(\zeta(s)\). Resulta que \(2+c-2\sqrt{2}<0\). Por tanto la expresión anterior prueba que \(f(N)\le e^\gamma\) para \(N\) grande.
Con este fin, Robin usa delicadas acotaciones para las funciones aritméticas asumiendo la hipótesis de Riemann. Muchas de estas acotaciones se deben a John Barkley Rosser y Lowell Schoenfeld en trabajos publicados en 1962, 1975 y 1976 y otras se deducen por Robin usando esas acotaciones. Por ejemplo, Robin demuestra, suponiendo la hipótesis de Riemann, las siguientes acotaciones para la suma de inversos de los primos $$\sum_{p\le x}\frac{1}{p}-\log\log x-B_1>-\frac{\log x}{8\pi\sqrt{x}},\qquad \forall x>1,$$ $$\sum_{p\le x}\frac{1}{p}-\log\log x-B_1<\frac{\log x}{8\pi\sqrt{x}},\qquad \forall x>318.06,$$ y también $$-\frac{\log x}{8\pi\sqrt{x}}<e^\gamma\prod_{p\le x}\Bigl(1-\frac{1}{p}\Bigr)<\frac{\log x}{8\pi\sqrt{x}},$$ cumpliéndose la primera desigualdad para todo \(x\ge 317.48\) y la segunda para todo \(x>1\).
El director de la tesis de Robin es Jean-Louis Nicolas. En 1983 demuestra un teorema que es esencial en la prueba de la equivalencia de la hipótesis de Riemann y la desigualdad de Robin.
Teorema (Nicolas). Sea \(p_k\) el \(k\)-ésimo número primo y \(N_k=2\cdot3\cdots p_k\) el producto de los \(k\) primeros números primos.
(a) Si la hipótesis de Riemann es verdadera, tenemos para todo \(k\ge1\): $$\frac{N_k}{\varphi(N_k)}> e^\gamma\log\log N_k.$$
(b) Si la hipótesis de Riemann es falsa, existe una infinidad de \(k\) para los cuales la desigualdad en (a) es verdadera y una infinidad de valores de \(k\) para los que es falsa.
De esta manera Nicolas resuelve una pregunta de Rosser y Schoenfeld: ¿existen infinitos \(n\) para los que $$\frac{n}{\varphi(n)}>e^\gamma \log\log n?$$ La demostración de Nicolas es notable. Prueba que existen infinitos \(n\) cumpliendo esta desigualdad. La demostración es impecable, pero la prueba sigue la siguiente ruta: no sabemos si la hipótesis de Riemann es verdadera o no, pero si es verdadera existen infinitos valores de \(n\) que cumplen la desigualdad y si no es verdadera también existen infinitos valores de \(n\) que cumplen la desigualdad. Cuando la hipótesis de Riemann se aclare y sepamos si es verdadera o falsa, si es que esto llega algún dia, la mitad de la prueba de Nicolas podrá eliminarse.
Usando el teorema de Nicolas, Robin consigue probar que, suponiendo que la hipótesis de Riemann no fuera válida, existirían números \(n\) colosalmente abundantes tales que $$\frac{\sigma(n)}{n\log\log n}> e^\gamma+C(\log n)^{-b},$$ siendo \(C\) una constante y \(\frac12<b<\beta\), donde \(\rho=\beta+i\gamma\) es un cero de la función zeta con \(\beta>1/2\).
Por tanto, la desigualdad \(\frac{\sigma(n)}{n\log\log n}<e^\gamma\) para \(n>5040\) equivale a la hipótesis de Riemann.
Números cumpliendo la desigualdad de Robin
La tesis de Robin, donde demuestra su criterio, es de 1983. Desde ese momento hay una carrera por demostrar que la desigualdad de Robin $$\frac{\sigma(n)}{n\log\log n}<e^\gamma$$ se verifica para más y más números. En el último de estos trabajos, publicado en arXiv en octubre de este año (2021), Christian Axler extiende estos resultados. Sea \(\nu_p(n)\) el exponente del primo \(p\) en la descomposición de \(n\) en factores primos
(por ejemplo, \(\nu_3(12)=1\), \(\nu_2(12)=2\) y \(\nu_5(12)=0\)). Tenemos entonces:
Teorema. La desigualdad de Robin se cumple para cualquier entero \(n>5040\) que cumpla alguna de estas propiedades:
- \(\nu_2(n)\le 20\),
- \(\nu_3(n)\le 12\),
- \(\nu_5(n)\le 8\),
- \(\nu_7(n)\le 6\),
- \(\nu_{11}(n)\le 5\),
- \(\nu_p(n)\le 4\) para algún primo \(11<p\le 19\),
- \(\nu_p(n)\le 3\) para algún primo \(19<p\le 41\),
- \(\nu_p(n)\le 2\) para algún primo \(41<p\le 139\),
- \(\nu_p(n)\le 1\) para algún primo \(139<p\le 1777\).
Este teorema mejora otros anteriores, la mejora se debe a haber conseguido probar que $$\frac{\sigma(n)}{n\log\log n}<e^\gamma\Bigl(1+\frac{0.0094243}{(\log\log n)^3}\Bigr),\quad n>5040.$$ Que nos dice que si la desigualdad de Robin falla en algún momento será por poca cosa.
Desde luego, un número que no cumpla la desigualdad de Robin ha de ser bastante grande. Recordemos que Robin prueba que si se cumple para dos números colosalmente abundantes consecutivos, entonces se cumple para todos los números intermedios. En 2006, Briggs comprobó que la desigualdad de Robin se cumple para todo número colosalmente abundante \(n\) cumpliendo \(5041\le n\le 10^{10^{10}}\) y recientemente, Morrill y Platt, en 2021, extendieron esto a \(5041\le n\le 10^{10^{13.11485}}\). Morrill y Platt demuestran algo más. Sea \(p_{k_0}=29\,996\,208\,012\,611\); este es el primo en el lugar \(k_0=999\,999\,476\,056\). Pues bien, prueban que la desigualdad de Robin se cumple para todo número \(n\) tal que $$5041\le n\le N_{k_0}:=\prod_{j=1}^{k_0}p_j.$$
La desigualdad de Lagarias y los números extraordinarios
La aparición de la constante de Euler en el criterio de Robin es un tanto misteriosa. Con su inocente definición, $$\gamma:=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n \frac1k-\log n,$$ ¿por qué tiene que aparecer tan a menudo con los primos? Jeff Lagarias consiguió dar una forma del criterio de Robin libre de \(\gamma\).
Teorema (Lagarias). La hipótesis de Riemann es cierta si y sólo si para todo \(n>1\) se verifica la desigualdad $$\sigma(n)<H_n+\exp(H_n)\log(H_n),$$ donde \(H_n=1+\frac12+\frac13+\cdots+\frac1n\) es el número armónico.
En este criterio desaparece la excepción del \(7!=5040\).
Hay otra traducción del resultado de Robin debida a Geoffrey Caveney, Jean-Louis Nicolas y Jonathan Sondow. Sea \(f(n)=\frac{\sigma(n)}{n\log\log n}\) la función de Robin. Diremos que un número \(n\) es extraordinario si es compuesto y verifica dos condiciones
(a) \(f(n)\ge f(n/p)\) para cada divisor primo \(p\) de \(n\).
(b) \(f(n)\ge f(an)\) para cada múltiplo \(an\) de \(n\).
El número \(4\) es extraordinario y se cumple:
Teorema (CNS). La hipótesis de Riemann es verdadera si y solo si \(4\) es el único número extraordinario.
Para saber más
El trabajo de Grönwall es muy fácil de leer y es accesible en la red:
T. H. Grönwall, Some Asymptotic Expressions in the Theory of Numbers, Trans. Amer. Math. Soc. 14 (1913) 113–122.
Grönwall es un matemático muy diverso. Hay una biografía de Gronwall, que no explica del todo el motivo de su emigración de Suecia.
Hemos usado un trabajo que cuenta detenidamente la historia del criterio de Robin:
J-L. Nicolas, J. Sondow, Ramanujan, Robin, highly composite numbers, and the Riemann hypotesis, Contemporary Math. 627 (2014) 145–156.
El trabajo de Ramanujan muestra la habilidad de Ramanujan no solo con las igualdades sino con las desigualdades:
S. Ramanujan, Highly Composite Numbers, Annotated by Jean-Louis Nicolas and Guy Robin, The Ramanujan Journal, 1, (1997) 119–153.
El trabajo de Guy Robin es técnico, pero asumiendo los resultados previos, son desigualdades que pueden seguirse sin muchos requisitos, está escrito en francés:
G. Robin, Grandes valeurs de la fonction somme des diviseurs et hypotèhse de Riemann, J. Math. Pures Appl. 63 (1984) 187–213.
El trabajo de Nicolas, con su prueba ramificada, se puede encontrar libre (muchos de los enlaces de esta entrada son a la página web de Nicolas, que ha tenido la gran idea de poner todos sus trabajos en acceso libre en su página):
Jean-Louis Nicolas, Petites valeurs de la fonction d’Euler, J. Number Theory 17 (1983) 375–388.
Aprovecho que hemos hablado de la constante de Euler para enlazar el survey de Jeff Lagarias sobre esta constante que yo ayudé a editar. Es enciclopédico y tiene muchos datos interesantes sobre esta constante \(\gamma\):
J. Lagarias, Euler’s constant: Euler’s work and modern developments, Bull. Amer. Math. Soc. 50 (2013) 527–628. (también en arXiv).
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