Alberto Calderón y averiguar causas a partir de efectos (y II)

Más sobre Calderón

Esta entrada es la segunda y última parte de otra, dedicada a Alberto Calderón. Comenzaremos con un par de cortas anécdotas que le afectaron, directa o indirectamente.

La primera de ellas tiene en realidad como protagonista a uno de sus profesores en la Universidad de Buenos Aires: Julio Rey Pastor. Se cuenta que, en un seminario, respondió así a una cuestión sobre la naturaleza del infinito: «Para mí, el infinito comienza a partir de mil pesetas».

La segunda tiene que ver con su afición al tabaco. Un día, sosteniendo en el aula un cigarrillo en una mano y (¿cómo no?) la tiza en la otra y estando absolutamente concentrado en una demostración, acabó chupando la tiza, desencadenando por tanto un espectáculo curioso delante de sus alumnos.

(No diré quién, pero sí contaré que ese mismo incidente fue protagonizado por uno de nuestros profesores delante de mí en cierta ocasión, hacia 1980, en una época en la que todos fumábamos como posesos.)

En cualquier caso, si hablamos de Calderón, nos estamos refiriendo a un ser excepcional. Fue miembro de las Academias de Ciencias de EEUU, Argentina, España, Francia, Venezuela e Italia y recibió una considerable colección de premios científicos, entre los cuales cabe mencioar el doctorado honoris causa por la Universidad Autónoma de Madrid en 1997.

Uhlmann, Caro y otros

Algunos investigadores activos en la resolución del problema de Calderón han sido G. Uhlmann, M. Vogelius, J. Sylvester, K. Astala, L. Paivarinta, M. Lassas y P. P. Caro. Esto será puesto de manifiesto más abajo.

Hablemos en particular de Uhlmann y de Caro.

Guntar Uhlmann, nacido en 1952, fue licenciado por la Universidad de Chile en Santiago y doctor por el MIT en Massachusetts (EEUU).

Fue después contratado en el propio MIT, en la Universidad de Harvard, en el Instituto Courant de Ciencias Matemáticas y en las universidades de Washington y California. Actualmente, trabaja en el Instituto de Estudios Avanzados de la Universidad de Ciencia y Tecnología de Hong Kong.

Se ha interesado por los problemas inversos para ecuaciones en derivadas parciales desde varios puntos de vista. En particular, ha contribuido de manera importante a la resolución del problema de Calderón. En algunos de sus últimos trabajos, en colaboración con Y. Kurylev y M. Lassas, ha estudiado problemas inversos para ecuaciones de ondas no lineales y para la ecuación de Einstein acoplada con ecuaciones de campo escalar. Ahí, la pregunta a la que se intenta dar respuesta es la siguiente:

¿Puede un observador realizar mediciones locales para determinar la estructura del espacio-tiempo en la mayor región donde pueden propagarse las ondas?

Los autores responden (a) reduciendo el problema inverso a una cuestión análoga en donde las mediciones son «pasivas», esto es, no corresponden a elecciones llevadas a cabo por el observador y, después, (b) aplicando técnicas propias de la geometría lorentziana; véase [1-3].

Pedro P. Caro, nacido en 1982, estudió la licenciatura de Matemáticas en nuestra Facultad y realizó un máster en la Universidad P. y M. Curie (París 6, Francia) y el doctorado en la Universidad Autónoma de Madrid (bajo la dirección de A. Ruiz). Fue posteriormente investigador contratado en las universidades del País Vasco y Helsinki (Finandia) y en el ICMAT (Madrid). Actualmente, ocupa plaza de investigador (Ikerbasque Research Fellow) en el BCAM (Bilbao).

Veremos en su momento que también ha contribuido con avances significativos a la resolución del problema de Calderón. En uno de sus últimos trabajos, en colaboración con C. J. Meroño e I. Parissis, se ha interesado por lo que podemos llamar «regularización rotacional». Se trata del proceso consistente en ganar regularidad a base de rotar y promediar. El interés por un análisis sistemático del mismo está motivado por la resolución de algunos problemas inversos con datos poco regulares; véase [6].

Para saber más (I): El problema y sus variantes

El problema de la tomografía de impedancia eléctrica, también llamado problema inverso de Calderón, es el siguiente: determinar la conductividad eléctrica \(\gamma = \gamma(x)\) de un medio que ocupa un abierto \(\Omega \subset {\bf R}^N\) conociendo sobre la frontera \(\partial\Omega\) el potencial eléctrico (que se impone arbitrariamente) y la corriente asociada (que se observa o mide).

Este problema aparece cuando se quiere conseguir una imagen de la conductividad o permitividad de alguna parte del cuerpo a partir de mediciones sobre el contorno. En la práctica, se adhieren conductores a la piel y se realizan mediciones correspondientes a pequeñas corrientes alternas aplicadas en los electrodos. El proceso se suele repetir para un gran número de configuraciones de corrientes distintas. La conductividad calculada ofrece información sobre la presencia y características de posibles tumores. Esta técnica se considera muy eficaz, en especial para la detección temprana del cáncer de mama; véase [4-5].

Como se ha dicho, Calderón formuló este problema motivado por problemas de prospección petrolífera. Una variante elastográfica fue presentada en este blog, en una entrada anterior. Se pueden formular muchas otras, todas ellas de gran interés: versiones evolutivas que, como se mostró en otra entrada, ayudan a describir la evolución de una epidemia, versiones donde la ecuación en derivadas parciales describe el comportamiento de la temperatura del medio o la función de onda de un sistema cuántico, problemas no escalares ligados (por ejemplo) a la determinación de un sólido en el interior de un fluido, etc.

En una situación idealizada, se puede suponer que el potencial \(u = u(x)\) es la solución del sistema
$$
\left\{
\begin{array}{l}
\sum_{i=1}^N \partial_i (\gamma(x) \partial_i u) = 0, \quad x \in \Omega
\\
u = f(x), \quad x \in \partial\Omega ,
\end{array}
\right.
$$
donde \(\Omega \subset {\bf R}^N\) es un abierto acotado.

Si \(\gamma\) satisface condiciones adecuadas (medible en \(\Omega\), con \(0 < \gamma_- \leq \gamma(x) \leq \gamma_+ < +\infty\) en casi todo), para cada \(f\) en un espacio bien elegido existe una única solución \(u\) de este problema y tiene sentido hablar de la corriente generada por \(u\) sobre la frontera:
$$
g := \gamma(x) \sum_{i=1}^N \partial_i u \, n_i(x), \quad x \in \partial\Omega,
$$
donde \(n_i(x)\) es la \(i\)-ésima componente del vector normal exterior a \(\Omega\) en el punto \(x \in \partial\Omega\); se suele decir que \(f \mapsto g\) es la aplicación Dirichlet-a-Neumann asociada a \(\gamma\).

El problema de Calderón se puede entonces enunciar así: conocida la aplicación Dirichlet-a-Neumann \(\Lambda_\gamma\) (el efecto), determinar \(\gamma\) (la causa).

Como para otros problemas inversos, interesa principalmente dar respuestas a las cuestiones siguientes:

• Unicidad: ¿Es cierto que \(\Lambda_{\gamma_1} = \Lambda_{\gamma_2}\) implica \(\gamma_1 = \gamma_2\)?

• Estabilidad: ¿Es posible estimar \(\gamma_1 – \gamma_2\) en términos de \(\Lambda_{\gamma_1} -\Lambda_{\gamma_2}\) en espacios de funciones y operadores adecuados?

• Reconstrucción: ¿Es posible«reconstruir» \(\gamma\) a partir de \(\Lambda_{\gamma}\)?

Para saber más (II): El papel de la dimensión

En dimensión \(1\), es fácil comprender qué ocurre.

Fijemos un intervalo \((0,L)\). Fijada \(\gamma = \gamma(x)\) medible y acotada con \(\gamma \geq \gamma_0 > 0\) en casi todo, para cada par de valores \(u_0, u_L \in {\bf R}\), el problema «directo» consiste en calcular \(u = u(x)\) tal que
$$
\left\{
\begin{array}{l}
\dfrac{d}{dx}\left(\gamma(x) \dfrac{du}{dx}\right) = 0, \quad x \in (0,L)
\\
u(0) = u_0, \ \ u(L) = u_L
\end{array}
\right.
$$
y, después, determinar \(v_0 := (\gamma\frac{du}{dx})(0)\) y \(v_L := (\gamma\frac{du}{dx})(L)\).

Es fácil conseguir una fórmula explícita para \(u\) en términos de \(u_0\,\), \(u_L\) y \(\gamma\):
$$
u(x) = \dfrac{u_L – u_0}{\displaystyle\int_0^L \gamma(s)^{-1} \,ds} \, \int_0^x \gamma(s)^{-1} \,ds + u_0
\quad \forall x \in [0,L].
$$
Por tanto, tras un cálculo adecuado, tenemos
$$
\gamma(0)\frac{du}{dx}(0) = \gamma(L)\frac{du}{dx}(L) = \dfrac{u_L – u_0}{\displaystyle\int_0^L \gamma(s)^{-1} \,ds} \,.
$$

En otras palabras, en este caso, sea cual sea \(\gamma\), la correspondiente \(\Lambda_\gamma\) es una aplicación de \({\bf R}^2\) en \({\bf R}\) que solo depende del valor de
$$
V := \int_0^L \gamma(s)^{-1} \,ds.
$$

Conocida \(\Lambda_\gamma\,\), esto es, conocida la constante positiva \(V\), cualquier función \(\gamma\) para la cual se tenga esta igualdad es solución del correspondiente problema inverso.

La consecuencia es que, en dimensión \(1\), no tenemos unicidad.

En general, sea cual sea la dimensión, la solución del problema directo correspondiente al coeficiente \(\gamma\) y al dato de Dirichlet \(f\) conduce a una observación \(\Lambda_\gamma(f) = \bigl. \gamma \frac{\partial u}{\partial n} \bigr|_{\partial\Omega}\,\), con
$$
\left( \gamma \frac{\partial u}{\partial n} \right)(x)
= \int_{\partial\Omega} K_\gamma(x,y) f(y) \,d\Gamma_y \quad \forall x \in \partial\Omega ,
$$
para un «núcleo» \(K_\gamma\) adecuado.

Así, en el problema inverso estamos tratando de determinar una función \(\gamma\) con \(N\) grados de libertad a partir de un núcleo \(K_\gamma\) con \(2N-2\) grados de libertad. Para \(N=1\), la información es claramente insuficiente (esto explica lo que acabamos de decir sobre falta de unicidad); para \(N=3\), el problema está sobredeterminado (tenemos mucha información); finalmente, para \(N=2\), el problema es, al menos formalmente, determinado (la información proporcionada «debería» ser suficiente para determinar \(\gamma\)).

Para saber más (III): Los casos \(N=2\) y \(N=3\)

Hablemos de los resultados de unicidad y estabilidad.

En una entrada posterior, hablaremos de las técnicas de reconstrucción, que están cobrando en la actualidad un interés renovado, gracias a puntos de vista y métodos «novedosos».

La primera contribución relevante se debe por supuesto a Calderón y fue publicada en 1980 (aunque fue concebida por él mucho antes), véase [7]. Introdujo determinadas soluciones, llamadas de óptica geométrica compleja, que han jugado un papel esencial en investigaciones posteriores.

Más tarde, en 1984, Kohn y Vogelius [8] probaron un primer resultado parcial de unicidad: si \(\gamma_1\) y \(\gamma_2\) son \(C^\infty\) y \(\Lambda_{\gamma_1} = \Lambda_{\gamma_2}\), entonces las derivadas de las \(\gamma_i\) sobre la frontera necesariamente coinciden.

El argumento utilizado permitió a Sylvester y Uhlmann [9] demostrar en 1988 resultados de estabilidad; por ejemplo, que bajo ciertas condiciones la norma en \(L^\infty\) de la diferencia de las derivadas normales sobre la frontera de dos coeficientes está acotada por la norma de la diferencia de los operadores asociados (en un espacio adecuado de aplicaciones lineales continuas).

Para \(N \geq 3\), el problema de la unicidad fue resuelto para coeficientes de clase \(C^2\) en 1987 por Sylvester y Uhlmann [10]. De hecho, la unicidad fue conseguida como consecuencia de un resultado para una ecuación ligeramente distinta, \(-\Delta v + q(x)v = 0\), obtenida a partir de un adecuado cambio de variable, donde la incógnita es ahora \(q\).

Uhlmann conjeturó que la unicidad era cierta para coeficientes \(\gamma\) Lipschitz-continuos y, de nuevo, el resultado de unicidad de [10] fue seguido por un teorema de estabilidad, con estimaciones logarítmicas, probado por Allessandrini [11]; véase también [12].

Más recientemente, Haberman y Tataru [13] probaron la unicidad para coeficientes \(C^1\) y, también, para coeficientes Lipschitz-continuos suficientemente próximos a la identidad. Finalmente, Caro y Rogers [14] han probado en 2016 un resultado de unicidad donde solo se exige el carácter Lipschitz, dando así respuesta positiva a la conjetura de Uhlmann.

En estos trabajos, se arranca de las ideas de Calderón y Sylvester y Uhlmann. La clave está en probar que, dadas \(q_1\) y \(q_2\), se pueden construir familias de soluciones \(v_1\) y \(v_2\) de óptica geométrica compleja asociadas tales que las igualdades
$$
\langle (q_1-q_2) v_1,v_2 \rangle = 0 \quad \forall v_1, \ \ \forall v_2
$$
implican que, necesariamente, \(q_1 = q_2\). En particular, en [14] esto se consigue analizando las propiedades del adjunto formal de un operador diferencial apropiado, lo cual, a su vez, reposa sobre determinadas desigualdades de tipo Carleman.

Para \(N = 2\), el tratamiento del problema ha de ser distinto; esto tiene sentido, en base a lo que hemos dicho sobre el papel de la dimensión.

Astala y Paivarinta [15] resolvieron en 2006 el problema de la unicidad sin ninguna hipótesis de regularidad sobre los coeficientes. Para ello, los autores reescribieron la ecuación elíptica como una ecuación de Beltrami y reformularon el problema inverso como la determinación de un coeficiente a partir de la aplicación que asigna a la parte real de la solución su parte imaginaria. Esto les permitió probar la existencia de soluciones de óptica geométrica compleja adecuadas con las cuales demostrar la unicidad. Asimismo, probaron la estabilidad logarítmica.

En trabajos posteriores, en colaboración con Lassas, fueron además capaces de extender la unicidad a coeficientes que degeneran y establecer límites entre coeficientes identificables y no identificables. Esta interesante línea de trabajo está conectada con la determinación de sólidos «invisibles» y posee en consecuencia un enorme interés aplicado; véase [16].

En la práctica, es aún más interesante considerar el problema de Calderón con observación parcial. Así, fijemos dos conjuntos \(\Gamma_1, \Gamma_2 \subset \partial\Omega\) y, para cada función \(f\) definida en \(  \Gamma_1\), consideremos el problema modificado
$$
\left\{
\begin{array}{l}
\sum_{i=1}^N \partial_i (\gamma(x) \partial_i u) = 0, \quad x \in \Omega
\\
u = f(x) 1_{\Gamma_1}, \quad x \in \partial\Omega
\end{array}
\right.
$$
y la corriente generada en \(\Gamma_2\):
$$
g := \gamma(x) \sum_{i=1}^N \partial_i u \, n_i(x), \quad x \in \Gamma_2.
$$

El operador \(f \mapsto g\) se denota \(\tilde\Lambda_\gamma\) y el objetivo es, como antes, determinar \(\gamma\) (la causa) a partir de \(\tilde\Lambda_\gamma\) (el efecto).

Se pueden consultar resultados para este problema (por ejemplo) en [17-18].

Referencias

1. Y. Kurylev, M. Lassas, G. Uhlmann: Inverse problems for Lorentzian manifolds and non-linear hyperbolic equations. To appear in Inventiones Mathematicae. Preprint.
2. Y. Kurylev, M. Lassas, G. Uhlmann: Inverse problems in spacetime I: Inverse problems for Einstein equations, 63 pp. Preprint.
3. Y. Kurylev, M. Lassas, G. Uhlmann: Inverse problems in spacetime II: Reconstruction of a Lorentzian manifold from light observation sets, 17 pp. Preprint.
4. D.S. Holder, Electrical Impedance Tomography: Methods, History and Applications, Institute of Physics, 2004.
5. I. Frerichs, J. Scholz, N. Weiler, Electrical Impedance Tomography and its Perspectives in Intensive Care Medicine, Springer. pp. 437-447, Berlín 2006.
6. P.P. Caro, C.J. Meroño, I. Parissis, Rotational smoothing. J. Differential Equations 306 (2022), 101-151.
7. A.P. Calderón, Selected papers. With commentary. Edited by A. Bellow, C.E. Kenig and P. Malliavin. American Mathematical Society, Providence, RI, 2008.
8. R. Kohn, M. Vogelius, Determining conductivity by boundary measurements. Comm. Pure Appl. Math. 37 (1984), no. 3, 289-298.
9. J. Sylvester, G. Uhlmann, Inverse boundary value problems at the boundary-continuous dependence. Comm. Pure Appl. Math. 41 (1988), no. 2, 197-219.
10. J. Sylvester, G. Uhlmann, A global uniqueness theorem for an inverse boundary value problem. Ann. of Math. (2) 125 (1987), no. 1, 153-169.
11. G. Alessandrini, Stable determination of conductivity by boundary measurements, App. Anal., 27 (1988), 153-172.
12. G. Alessandrini, S. Vessella, Lipschitz stability for the inverse conductivity problem, Adv. in Appl. Math., 35 (2005), 207-241.
13. B. Haberman, D. Tataru, Uniqueness in Calderón’s problem with Lipschitz conductivities, Duke Math. J., 162 (2013), 3, p. 496-516.
14. P.P. Caro, K.M. Rogers, Global uniqueness for the Calderón problem with Lipschitz conductivities. Forum Math. Pi 4 (2016), e2, 28 pp.
15. K. Astala, L. Paivarinta, Calderon’s inverse conductivity problem in the plane. Annals of Math., 163 (2006), 265-299.
16. K. Astala, M. Lassas, L. Paivarinta, The borderlines of invisibility and visibility in Calderón’s inverse problem. Anal. PDE 9 (2016), no. 1, 43-98.
17. C. Kenig, M. Salo, Recent progress in the Calderón problem with partial data. Inverse problems and applications, 193-222, Contemp. Math., 615, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2014.
18. P.P. Caro, D. Dos Santos Ferreira, A. Ruiz, Stability estimates for the Calderón problem with partial data. J. Differential Equations 260 (2016), no. 3, 2457-2489.