¿Realmente es necesario el infinito?

Dos principios sobre la relación finito/infinito

Uno de los axiomas de la matemática es que existe un conjunto infinito. Sin este axioma nuestra matemática sería mucho más débil. Muchos de nuestros teoremas caerían como un castillo de naipes. Probablemente Newton o Gauss hubieran dudado en aceptar nuestro axioma (aunque sin ser conscientes lo estaban usando). lo hemos aceptado por nuestra comodidad. La fé que dicen algunos …

Con el tiempo hemos aprendido a manejar adecuadamente el infinito, podemos resumir nuestra experiencia en dos principios. El primero de ellos se debe a André Bloch (1893-1948) al que dediqué una entrada, fue un matemático peculiar. El principio de Bloch nos dice que en realidad el infinito no nos aporta nada nuevo, que todo lo que encontramos en el infinito, lo podemos ver en lo finito:

Nihil est in infinito quod non prius fuerit in finito:

Nada hay en el infinito que no exista antes en lo finito. 

El segundo principio se debe a Frank P. Ramsey (1903-1930), un matemático que rompe todas las ideas preconcebidas sobre nuestra profesión. Hace tiempo que echamos en falta una película sobre su vida. El principio de Ramsey es como el opuesto al de Bloch. Nos dice que en el infinito podemos encontrar cualquier cosa. 

El desorden completo es imposible, en una estructura suficientemente grande siempre encontraremos orden.

Un lema en uno de los trabajos de lógica de Ramsey ha dado lugar a toda una rama de la combinatoria: la Teoría de Ramsey. Según el principio podemos encontrar cualquier cosa en el infinito. Para ilustrar esto consideraremos el problema que hoy nos ocupa. Nuestra estructura ordenada, la que buscaremos en el infinito, será un conjunto finito \(S\) de números naturales tales que $$\sum_{n\in S}\frac1n=1.\qquad \text{($*$)}$$ El problema de tipo Ramsey sería: 

(1) Si coloreamos los números naturales con \(r\) colores. Hay un conjunto finito \(S\) monocolor y tal que satisface \(\sum_{n\in S}\frac1n=1\).

Esta afirmación fue planteada como conjetura por Erdös y Graham en 1980. Incluso si demostramos que esto es cierto, no sabremos cuál será el color en que encontraremos la estructura ordenada \(S\). En el mismo lugar Erdös y Graham conjeturan la versión de densidad.

(2) Si tenemos un conjunto \(D\) de números naturales con densidad positiva, existe \(S\subset D\) tal que \(\sum_{n\in S}\frac1n=1\).

Esto es general: los problemas de tipo Ramsey tienen una versión más fuerte asumiendo la densidad. Un conjunto \(A\subset \mathbf{N}\) se dice que tiene densidad \(d(A)\) si existe el límite $$\lim_{N\to\infty}\frac{\text{cardinal}\{n\in A \colon n\le N\}}{N}=d(A).$$

Para este tipo de problemas también suele existir la versión de Turán. En la versión de tipo Turán uno quiere un conjunto lo mayor posible que no contenga la estructura ordenada. 

Más adelante (São Paulo, 1994), Erdös planteó el problema de tipo Turán correspondiente:

Problema: Dado \(\delta>0\), siendo \(N\) suficientemente grande y \(D\subset \{2,3,\dots, N\}\) tal que $$\sum_{n\in D}\frac1n>\delta\log N,$$ ¿es cierto que existe \(S\subset D\) tal que \(\sum_{n\in S}\frac1n=1\)?

Aquí Erdös no se atreve a conjeturar, tan solo pregunta y muestra su interés en el problema ofreciendo un premio de 100 $ por una solución positiva o negativa de este problema.

Veremos cómo funciona el principio de Bloch en las demostraciones de estas conjeturas. Uno se queda con una parte finita, pero suficientemente grande, de la estructura, y en ese conjunto finito trata de encontrar \(S\). Es como si desecháramos el infinito. 

La solución de Ernest S. Croot III

La solución positiva de la primera conjetura de Erdös y Graham fue publicada en 2003 por la revista Annals of Mathematics. Un artículo de tan solo 11 páginas pero con una construcción muy delicada. 

En opinión del propio Croot

Lo que es bonito de estos problemas, en contraste con otros problemas de tipo Turán y Ramsey, es que no hay un principio heurístico fácil que nos diga cual debe ser la respuesta (si o no existe siempre un conjunto \(S\) con \(\sum_{n\in S} 1/n =1\)). La demostración nos dice algo que teníamos pocas razones de sospechar que fuera cierto.

Siguiendo el principio de Bloch, debemos encontrar un conjunto finito \(U\) de naturales tales que si coloreamos sus elementos con \(r\) colores, necesariamente hay un conjunto \(S\) monocolor tal que \(\sum_{n\in S}\frac1n=1\). Croot prueba que si \(b=e^{167000}\), entonces el conjunto de los números naturales \(U\) contenidos en el intervalo \([2, b^r]\) tiene esa propiedad. 

Nuestro infinito se ha hecho finito, convertido en ese número gigantesco \(b\). No es necesario colorear todos los números naturales, es suficiente con colorear el conjunto \(U=[2, b^r]\cap\mathbf{N}\) que es finito (aunque muy grande). 

En la prueba se usa un detector de conjuntos \(S\subset D\) con la propiedad de que la suma \(\sum_{n\in S}\frac1n\) sea un entero. Buscamos subconjuntos de un conjunto prefijado \(D\) (el detector es el análisis de Fourier). Sea \(P\) el mínimo común múltiplo de los números en \(D\). Para cada \(S\subset D\) tendremos $$\sum_{n\in S}\frac{1}{n}=\frac{a}{P}, \qquad a\in \mathbf{N}.$$ La idea básica del detector es observar que $$\frac{1}{P}\sum_{h\bmod P}e^{2\pi i\frac{a}{P} h}=\begin{cases}1 & \text{si $a/P$ es entero}\\0 & \text{si $a/P$ no es entero}\end{cases}$$ porque la suma de las raíces \(n\)-ésimas de la unidad es \(0\) (salvo que \(n=1\)).

Ahora consideremos el producto $$E(h)=\prod_{n\in D}(1+e^{2\pi i h/n})=\sum_{S\subset D}\exp\Bigl(2\pi i h\sum_{n\in S}\frac{1}{n}\Bigr).$$ Cada subconjunto \(S\) de \(D\) aporta un sumando. Si sumamos ahora para los \(h\) módulo \(P\) cada \(S\subset D\) con \(\sum_{n\in S}\frac1n\in\mathbf{Z}\) aporta una unidad a la suma. Resulta entonces que $$\text{cardinal} \Bigl\{S\subset D\colon \sum_{n\in S}\frac1n\in\mathbf{Z}\Bigr\}$$ es igual a $$L:=-1+\frac{1}{P}\sum_{P/2<h\le P/2}E(h);$$ el \(-1\) viene de que no queremos contar el conjunto \(S=\emptyset\), que también da un \(1\) en esta suma. 

Podemos escribir $$E(h)=\exp\Bigl(\pi i h\sum_{n\in D}\frac1n\Bigr)\cdot2^{|D|}\prod_{n\in D}\cos(\pi h/n).$$ Ahora todo el problema es conseguir un conjunto \(D\) tal que podamos probar que la suma \(L\) es positiva y que además $$\sum_{n\in D}\frac1n<2.$$ Si conseguimos esto la suma \(L\) es un número natural, pero cada sumando no nulo vale \(1\) (porque es menor que \(2\). Cada sumando \(=1\) me da un subconjunto \(S\subset D\) verificando \(\sum_{n\in S}\frac1n=1\). 

La elección del conjunto \(D\) es complicada. Croot fija \(N\) grande y va a tomar \(D\) subconjunto de otro conjunto \(C\). Fijamos dos números positivos \(\delta\) y \(\theta\)  con \(\delta+\theta<\frac14\) y tomaremos \(C\) tal que 

1. Los elementos de \(C\) son números grandes: \(C\) es subconjunto del intervalo \([N, N^{1+\delta}]\).
2. Los elementos de \(C\) tienen suficientes factores primos: cada elemento de \(C\) tiene del orden de \(\log\log N\) factores primos.
3. Los números en \(C\) son suaves: Cada potencia de primo \(p^a\) que divida a algún \(n\in C\) es pequeña: \(p^a\le N^\theta\).
4. \(C\) es suficientemente grande: \(\sum_{n\in C}\frac1n>6\).

El principal teorema de Croot es que un tal conjunto \(C\) siempre contiene un subconjunto \(S\) con \(\sum_{n\in S}\frac1n=1\). Simplemente porque contiene un \(D\) adecuado. 

Gracias a un teorema de Hardy y Ramanujan la condición 2 es satisfecha por prácticamente cualquier número. Ellos probaron que prácticamente todos los números de tamaño \(N\) tienen del orden de \(\log\log N\) factores primos. Para conseguir suficientes números satisfaciendo las condiciones 1, 2 y 3, de manera que todavía se cumpla 4 es necesario usar la función de Dickman \(\rho(x)\) y el siguiente teorema

Teorema: Fijado \(a>0\) se tiene para todo \(0<b<a\) el cardinal del conjunto de números naturales \(n\le x\) tales que todos sus factores primos son \(\le x^{1/b}\) es del orden de \(x\rho(b)\).

La función de Dickman esta definida por ser \(\rho(t)=1\) para \(0\le t\le 1\), y para \(t>1\) satisface la ecuación $$t\rho'(t)=-\rho(t-1).$$ Es usando el teorema de Dickman donde aparece el número gigante \(e^{163550}\) tal que si \(N>\exp(163550r)\), existe un conjunto monocromático tal que \(\sum_{n\in C} \frac1n>6\).

Segunda conjetura de Erdös

Erdös y Graham conjeturaron que si tenemos \(A\subset \mathbf{N}\) con densidad \(d>0\), entonces debe existir un subconjunto \(S\subset A\) tal que \(\sum_{n\in S}\frac1n=1\). 

La solución de Croot no vale en este caso pues los números no suaves, es decir aquellos \(n\) que tienen algún factor primo \(\ge n^{1/4}\) tienen densidad positiva. En ese conjunto, a pesar de tener densidad positiva, el argumento de Croot no consigue nada. 

En uno de sus trabajos Erdös incluso enuncia el resultado finito que conduce al de la densidad.

Conjetura de Erdös: Si \(N\) es suficientemente grande y \(A\subset\{2,3,\dots, N\}\) es tal que $$\sum_{n\in A}\frac1n>\delta\log N,$$ entonces hay un subconjunto \(S\subset A\) tal que $$\sum_{n\in S}\frac1n=1.$$

La solución de Thomas F. Bloom

Este diciembre Thomas F. Bloom ha subido a arXiv su solución positiva a la conjetura sobre la densidad y también a la pregunta de Erdös. 

Es sabido que Erdös a veces ofrecía un premio en metálico al que resolviera algunas de sus conjeturas. Después de la muerte de Erdös Graham mantuvo a su costa estas ofertas. Pero Graham murió en 2020. Por esto Thomas F. Bloom se quedará sin su premio, aunque lo merezca sin duda. 

Bloom observa que se adapta mejor al problema la densidad logarítmica $$\delta(A)=\lim_{N\to\infty}\frac{1}{\log N}\sum_{n\in A, n\le N}\frac1n.$$ De hecho cuando \(d(A)\) existe, entonces existe \(\delta(A)\) y son iguales. Por esto podemos trabajar con la densidad logarítmica.

Pero Bloom demuestra más.  Prueba que si un conjunto tiene densidad superior positiva, es decir si $$\limsup_{N\to\infty}\frac{\text{cardinal}\{n\in A \colon n\le N\}}{N}>0$$ entonces contiene un conjunto finito \(S\) con \(\sum_{n\in S}\frac1n=1\). 

De nuevo el problema se reduce a una afirmación finita. El resultado principal de  Bloom es una respuesta directa al último de los problemas de Erdös.

Teorema: Existe una constante \(C\) tal que si \(A\subset\{1,2,\dots, N\}\) y $$\sum_{n\in A}\frac{1}{n}\ge C\frac{\log\log \log N}{\log\log N}\log N$$ entonces existe un subconjunto \(S\subset A\) tal que $$\sum_{n\in S}\frac1n=1.$$

Resolviendo por tanto el problema de Erdös para cualquier valor de \(\delta\). 

La prueba sigue en lineas generales el argumento de Croot. Necesitamos hipótesis más precisas y técnicas para salvar las dificultades. La condición de suavidad tiene que ser mucho más débil, porque como ya dijimos los números no \(N^\theta\)-suaves tienen densidad positiva, puede que no haya ningún \(N^\theta\)-suave en nuestro conjunto \(A\). Las condiciones que deben exigirse a \(A\) son ahora 

1. Los elementos de \(A\) son números grandes \(A\subset[N^{1-1/\log\log N},N]\).
2. Los elementos de \(A\) tienen suficientes factores primos:$$\frac{99}{100}\log\log N\le \omega(n)\le 2\log\log N.$$ Pero además cada \(n\in A\) es divisible por un primo \(p\) tal que \(5\le p\le (\log N)^{1/100}\). 
3. Los elementos de \(A\) son suaves: Cada potencia de primo \(p^a\) que divide a algún \(n\in A\) es pequeña \(p^a\le N^{1-6/\log\log N}\).
4. \(A\) es suficientemente grande $$\sum_{n\in A}\frac1n\ge (\log N)^{1/200}.$$

Con estas condiciones \(A\) contiene un subconjunto \(S\subset A\) con \(\sum_{n\in S}\frac1n=1\). 

Como vemos la condición 3 se ha relajado mucho, ahora las potencias de los primos que dividen a los elementos de \(A\) pueden ser mucho mayores, pero la condición 4 es mas exigente. La prueba usa el mismo artificio para detectar los conjuntos \(S\). 

La demostración de Bloom necesita salvar muchas dificultades técnicas. Por ejemplo una de las diferencias es que fija un intervalo \([y,z]\) pequeño en el sentido que \(1\le y\le z\le (\log N)^{1/500}\) y demuestra primero que existe un \(S\) finito tal que \(\sum_{n\in S}\frac1n=d\) un número natural con \(x\le d\le z\). Esto le da más juego para encontrar \(S\). Después con un proceso iterativo consigue el conjunto con \(d=1\), este paso es esencial en la solución del problema de la densidad.

Sobre el papel de las publicaciones en matemáticas

Una manera de distinguir un artículo científico de un físico del de un matemático es mirar las referencias. Un físico cita a los autores, el año de publicación y unas iniciales de la revista. Un matemático cita a los autores, el título del trabajo, indica claramente la revista, el tomo, el año y las páginas. Las referencias del físico no parecen dirigirse a que alguien las localice, un matemático en cambio trata de que el lector sea capaz de encontrar los teoremas que usa. Comprobar las diferencias con resultados similares. Es claro que el matemático necesita de las referencias para leer el trabajo. Los resultados aparecidos hace 20, 50 o 100 años siguen siendo válidos y útiles. Es por esto que son tan esenciales las revistas y su permanente y libre acceso.

Estamos seguros que Bloom ha trabajado sobre una copia del trabajo de Croot. Tanto que su copia estará llena de comentarios y sugerencias alternativas. El trabajo de Croot se publicó en 2003, hace 19 años, pero para Bloom era la actualidad más candente cuando intentó superar su resultado para conseguir el teorema sobre la densidad. Este es un buen ejemplo de cómo se trabaja en Matemáticas. La primera sugerencia de Pólya ¿Has visto antes resuelto un problema similar? ¿Puedes usar su método? 

Para esto es imprescindible que las publicaciones matemáticas sean permanentes y de libre acceso. 

Para saber más

La segunda conjetura de Erdös está sacada de un artículo que se publicó en las actas de una conferencia en el Instituto de Matemáticas de la Universidad de São Paulo (nov. 1994).

Puede descargarse en la página web: Artículo de Erdös. Las conjeturas de Graham y Erdös están contenidas en su libro:

P. Erdös y R. L. Graham, Old and new problems and results in Combinatorial Number Theory, l’Enseignement Mathématique.

El trabajo original de Croot es legible con cierta formación matemática: teoremas básicos de teoría de números. El resultado de Dickman es más complicado, pero es fácil de entender y está enunciado claramente. 

Ernest S. Croot III, On a coloring conjecture about unit fractions, Ann. Math. 157 (2003) 545-556.

El trabajo de Thomas F. Bloom es un poco más difícil de entender,  no por usar una matemática complicada. Simplemente requiere atención prolongada.

Thomas F. Bloom. On a Density Conjecture about Unit Fractions, arXiv:2112.03726. Dic. 2021.

Las páginas web de Croot y Bloom merecen una visita, podemos encontrar sus trabajos y exposiciones de temas de su interés.  

Ramsey es un personaje interesante. A pesar de su muerte prematura fue capaz de hacer cambiar a dos personajes importantes sobre sus ideas John Maynard Keynes sobre las probabilidades y Ludwig Wittgenstein sobre su retiro de la filosofía.

Notas sobre su biografía en internet pueden leerse en (biografía1, biografía2). Aparte de esto hay dos libros dedicados a su vida y obras:

Karl Sabbagh, Shooting star: The brief and brilliant life of Frank Ramsey, Kindle, 2013.

Cheryl Misak, Frank Ramsey: A sheer excess of powers, Oxford University Press, United Kingdom 2020.

La foto de Groot  es debida a  George Bergman, GFDL 1.2  licencia, via Wikimedia Commons.

La imagen destacada es obra de 

Xavier Blanquer (Jeanloui) la encontré en la página web fractal brocoli o Romanesco.