En la entrada anterior titulada ¿Dios juega a los dados? vimos como por la mano de Max Born entraba en la física la probabilidad de una manera totalmente nueva. No como ya lo había hecho, por ejemplo, en el caso de la mecánica estadística que, dada la imposibilidad de resolver los millones de ecuaciones de movimiento para los millones de partículas que hay por ejemplo en una habitación, se desarrolló una imponente teoría estadística: la mecánica estadística donde la probabilidad juega un papel esencial.
Este no era el caso descrito por Born en su artículo “Zur Quantenmechanik der Stossvorgänge” (Sobre la mecánica cuántica de los procesos de colisión) publicado en Zeitschrift für Physik en diciembre de 1926, pues Born estudiaba la colisión de únicamente dos partículas: un electrón que colisionaba con un átomo pesado o con otro electrón. Como ya contamos, para poder explicar los resultados de los experimentos de las colisiones Born concluyó que la función de onda \(\Psi\) introducida por Schrödinger (de la que hablamos en esta otra entrada tenía que entenderse no como una onda de materia sino como una densidad de probabilidad. Al final del artículo Born concluía que la mecánica cuántica ya sea en la formulación de Schrödinger como en la de Heisenberg no podía responder a la pregunta “¿cuál es el estado después de la colisión?”, sino solo a la pregunta “¿qué tan probable es un resultado específico de la colisión?” y terminaba con una afirmación todavía más rotunda: había que abandonar la causalidad y el determinismo tan intrínsecamente ligado a la física clásica. Así concluía su trabajo de 1926:
Aquí surge todo el problema del determinismo. Desde el punto de vista de nuestra mecánica cuántica, no hay ninguna magnitud que en cada caso determine causalmente el resultado de la colisión, pero tampoco experimentalmente por el momento tenemos ninguna razón para creer que existan algunas propiedades internas del átomo que condicionen un resultado definitivo para la colisión. ¿Debemos esperar descubrir más tarde tales propiedades (…) y determinarlas en casos individuales? ¿O deberíamos creer que el acuerdo de la teoría y el experimento es una armonía preestablecida fundada en la inexistencia de tales condiciones? Yo mismo me inclino a renunciar al determinismo en el mundo de los átomos. Pero esa es una cuestión filosófica para la que los argumentos físicos por sí solos no son decisivos.
Tal como ya adelantamos en la entrada antes mencionada la interpretación de Born fue un mazazo para la física clásica y quizá hubiese pasado desapercibida a no ser por un artículo que publicó muy poco después, en marzo de 1927, Heisenberg en Zeitschrift für Physik titulado “Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik” que se podría traducir como “Sobre el contenido perceptual de la cinemática y mecánica teórica cuántica” aunque la traducción «perceptual» del adjetivo “anschaulichen” (proveniente de verbo anschauen, que significa «mirar a algo») tiene distintas interpretaciones tal y como cuenta Lindley en su magnífico libro [1]. Pero antes de pasar a describir que fue lo que acabó con la esperanza de los físicos clásicos de restaurar la causalidad (o el determinismo) conviene relatar algunos de los acontecimientos que llevaron a Heisenberg a formular lo que hoy se conoce como el Principio de incertidumbre (o indeterminación) de Heisenberg.
Como contamos en una entrada anterior las formulaciones de la teoría cuántica de Heisenberg (la mecánica matricial) y la de Schrödinger (la mecánica ondulatoria) resultaron matemáticamente equivalentes. Esto significaba que ambas podían describir muy bien los procesos subatómicos pero había algo que las distanciaba: su interpretación física. La mecánica ondulatoria parecía poder conseguir apartar de la física los saltos cuánticos (las discontinuidades, como solían llamarle los físicos de la época) intrínsecos en la mecánica matricial y acabar con esa dualidad continua-discreta (onda-partícula) de una vez pero no estaba nada claro cual era el significado físico de la función de ondas. Cuando se comprobó que ambas eran equivalentes, matemáticamente hablando , el problema se agudizó aún más. ¿Cómo era posible que dos teorías aparentemente tan dispares eran capaces de explicar tan bien los mismos fenómenos? ¿Cómo interpretar correctamente la recién descubierta mecánica cuántica? ¿Era solo un ardid matemático o había algo más?
Tras la famosa visita de Schrödinger a Copenhagen, que ya contamos aquí, Born y Heisenberg, que se había desplazado a Copenhagen como ayudante de Bohr, se dedicaron de lleno a esa tarea.
Heisenberg lo contó así en sus memorias [2].
En los meses siguientes, la interpretación física de la mecánica cuántica constituyó el tema central de los coloquios que mantuvimos Bohr y yo. Mi habitación estaba situada entonces en el piso más alto del edificio del Instituto, en un pequeño ático bellamente decorado, con paredes inclinadas, desde el que se podía divisar la arboleda que hay a la entrada del parque Fälled. Bohr venía con frecuencia a mi cuarto ya muy entrada la noche, y discutíamos todos los experimentos mentalmente posibles para ver si en realidad habíamos entendido de manera completa la teoría. Pronto se vio que Bohr y yo buscábamos la solución de las dificultades en direcciones algo distintas. Bohr pretendía yuxtaponer equiparadas las dos representaciones intuitivas, la imagen de partículas y la imagen de ondas, con lo que intentaba formular que estas representaciones se excluyen, sí, recíprocamente, pero que ambas juntas y sólo juntas hacían posible una descripción completa del acontecer atómico. No me agradaba, lo confieso, esta manera de pensar.
Al mismo tiempo que discutía con Bohr, Heisenberg mantenía una intensa correspondencia con su amigo Pauli sobre los avances de ambos en el entendimiento de la nueva mecánica cuántica. Según Cassidi, el biógrafo de Heisenberg ese intercambio epistolar fue uno de los catalizadores que llevó a Heisenberg a enunciar su principio de incertidumbre. En la parte primera del volumen 6 de la magnífica colección sobre el nacimiento de la Mecánica Cuántica [3] el lector interesado puede seguir con detalle la evolución de los acontecimientos por lo que aquí solo daremos unas breves pinceladas de los acontecimientos que consideramos más relevantes.
El 19 de octubre de 1926 Pauli le escribió una carta a Heisenberg donde le explicaba, entre otras cosas, que había extendido la interpretación probabilística de Born no solo a los estados del átomo o del electrón tras una colisión, sino que, en general, el cuadrado de la función de onda de Schrödinger daba la densidad de probabilidad de encontrar al electrón en una determinada posición. Además le contaba algo tremendamente curioso que había descubierto. Cuando intentaba describir el estado de su sistema solo lo podía hacer en términos de las coordenadas (denotadas por la letra q), o de los momentos p (p=m v, donde v es la velocidad). En palabras de Pauli
Podemos ver el mundo con el ojo de las “p” y podemos ver el mundo con el ojo de las “q”, pero si abrimos ambos ojos juntos, entonces nos volvemos locos.
Heisenberg discutió las ideas de Pauli con Dirac (de visita en Copenhagen) y por supuesto con Bohr y descubrió que Dirac se había topado con algo similar: parecía que sólo se podía saber lo que ocurría en el mundo cuántico cuando se consideraban las variables p o las q, ¡pero no si se usaban las dos al mismo tiempo!
Mientras discurría todo este intercambio de ideas Bohh no dejaba de darle vueltas a la interpretación de la Mecánica Cuántica (lo que hoy se conoce como la interpretación de Copenhagen) y no paraba de discutir con Heisenberg sobre ello como ya mencionamos antes. Ambos terminaron extenuados tras días y días de discusiones que muchas veces tenían lugar a altas horas de la noche así que Bohr se fue a esquiar y dejó solo a Heisenberg en Copenhagen dándole vueltas al problema.
Fue durante esos días en soledad [febrero-marzo de 1927] que, como mismo le ocurriera con la mecánica matricial, Heisenberg dio con el argumento definitivo. Para ello se centró en entender un ejemplo muy sencillo pero a la vez revelador: explicar la trayectoria de un electrón en una cámara de niebla. Así lo cuenta en sus memorias:
Concentré entonces mis esfuerzos totalmente en la cuestión de cómo en la mecánica cuántica puede representarse matemáticamente la trayectoria de un electrón en la cámara de niebla. Cuando una de las primeras tardes tropecé en mi análisis con dificultades totalmente insuperables, comprendí con claridad meridiana que posiblemente habíamos planteado la cuestión de manera equivocada. Pero ¿qué es lo que podría haber de equivocado en el planteamiento? La trayectoria del electrón en la cámara de niebla era un hecho, ya que se la podía observar. El esquema matemático de la mecánica cuántica era un hecho también, y demasiado convincente, para permitirnos cambios ahora. Por tanto, se podía establecer—contra todas las apariencias exteriores—la conexión. Tal vez fue aquella tarde, hacia la medianoche, cuando súbitamente recordé mi conversación con Einstein, y me acordé de su afirmación: «Sólo la teoría decide sobre lo que puede observarse».
Así que Heisenberg se fue a dar un paseo por el el parque Fälled para poder pensar sobre esta afirmación de Einstein y fue durante ese paseo cuando se le ocurrió la solución. La pregunta que se hizo Heisenberg fue concretamente ¿con cuánta precisión podemos medir la posición y velocidad del electrón? Formalmente dicha precisión podría ser tan alta como se quisiese. Pero era aquí donde comenzaban a aparecer los problemas como le habían comentado Pauli y Dirac, o miras con el ojo q o con el ojo p … En sus propias palabras:
Nosotros habíamos dicho siempre con cierta superficialidad: la trayectoria del electrón puede observarse en la cámara de niebla. (ver la figura 1) […] [pero] La auténtica pregunta debería, por tanto, formularse así: ¿Se puede representar, dentro de la mecánica cuántica, una situación en la cual aproximadamente—es decir, con una cierta imprecisión—se encuentre un electrón en un lugar dado, y también aproximadamente—es decir, de nuevo con una cierta imprecisión—posea una velocidad dada, y se pueden hacer estas imprecisiones tan pequeñas de forma que no se encuentren dificultades con el experimento?
Con todas esas ideas bulléndole en la cabeza Heisenberg se fue a su habitación y armado con el nuevo formalismo matemático (muy elegante y general) para la mecánica cuántica que acababan de desarrollar Dirac por un lado y Jordan (el mismo Jordan que junto a Heisenberg y Born desarrolló la Mecánica matricial) por otro se puso a sacar cuentas … y descubrió algo que no solo cambiaría la física cuántica, sino que cambiaría toda la física y tendría implicaciones incluso en la filosofía: descubrió que, efectivamente, no se podía medir con precisión absoluta la velocidad y la posición de una partícula. En sus propias palabras:
El producto de las indeterminaciones para la localización y cantidad de movimiento (bajo el término ‘cantidad de movimiento’ se entiende el producto de la masa por la velocidad) no podía ser más pequeño que el ‘quantum’ de acción de Planck.
Concretamente comprobó que si \(\Delta x\) era el error (incertidumbre) al medir la posición del electrón (una partícula en general) y \(\Delta p\) era el error al medir la cantidad de movimiento, entonces
$$ \Delta x \Delta p \approx h, $$
donde \(h\) era la constante de Plank. Es decir, si nuestra medición de la posición es muy precisa perderemos precisión en la medición de la velocidad y viceversa.
Para entender lo novedoso del resultado de Heisenberg conviene hacer una pequeña aclaración. Es bien conocido que cuando hacemos cualquier medición, dicha medición siempre tiene asociado cierto error. Por ejemplo, imaginemos que queremos medir el diámetro de una moneda de dos céntimos de euro. En la figura 2 mostramos tres mediciones.
A. Con una regla cuya precisión es de 1 milímetro (que es la distancia entre las marcas)
B. Con una regla cuya precisión es de 0.4 milímetros (que es la distancia entre las marcas)
C. Con un calibre (o pie de rey) cuya precisión es de 0.1 milímetros
Como se ve en la foto en el caso A la regla muestra un valor de unos 18 milímetros (18 marcas de la regla) como muestra la flecha azul, aunque si nos fijamos bien en la foto la marca cero de la regla no coincide exactamente con el borde de la moneda(nuestra mano no es infalible). Además no tenemos una certeza absoluta que estemos midiendo exactamente el diámetro (podríamos haber medido un poco por encima o por debajo de la línea que define el diámetro). Es decir, aparte del error del instrumento (1 milímetro) hay errores en la propia medición. Por eso es conveniente realizar múltiples mediciones y hacer las medias, calcular los errores estadísticos, etc. Por simplicidad usaremos el error del instrumento. Así que en el caso A nuestra medición tiene un error de 1 milímetro. Ahora bien, si usamos una regla más precisa, como la usada en el caso B, podemos contar 46 marcas (ver la flecha azul) que nos daría 18.4 milímetros con un error de 0.4 milímetros. Finalmente, con el calibre vemos que el diámetro es mayor de 18 milímetros (flecha azul) pero la segunda escala muestra que son 18.8 milímetros (ver flecha roja) con un margen de error de 0.1 milímetros. Si usáramos un instrumento más preciso podríamos ir disminuyendo ese error hasta hacerlo, en principio, tan pequeño como haga falta.
Lo que Heisenberg había descubierto iba mucho más allá pues su relación, escrita en términos de la desviación estándar Δx de la posición y el momento Δp, establecía que para todo sistema mecánico cuántico tenía que cumplirse la siguiente desigualdad:
$$\Delta x\Delta p\geq\frac{h}{4\pi}$$
Es decir, si se era capaz de medir con una gran precisión la posición de un objeto, se perdería precisión en la medición del impulso (velocidad). No era una cuestión del instrumento a usar, era una consecuencia de la propia teoría cuántica «Sólo la teoría decide sobre lo que puede observarse»: o bien la posición o bien la velocidad, pero ambas al mismo tiempo eran imposible medirlas con precisión arbitraria.
Heisenberg envió una carta a Pauli de 14 páginas el 23 de febrero de 1927 contándole lo que había descubierto y como lo había hecho y que le sirvió para escribir su artículo más famoso (más aún si cabe que su primer trabajo sobre la mecánica matricial) “Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik”, que ya mencionamos al principio de esta entrada y que envió a publicar justo antes del regreso de Bohr. Curiosamente cuando Bohr lo leyó descubrió una inexactitud en ciertos comentarios de Heisenberg y le insistió en que debía tenerse en cuenta la dualidad onda-corpúsculo, algo a lo que se resistía Heisenberg. La discusión sobre ese tema fue tan enconada que en algunos momentos Heisenberg llegó a echarse a llorar (hay testigos que lo corroboraron, Pauli entre ellos, pues lo invitaron a mediar en la “pelea” entre el danés y el alemán).
Finalmente Heisenberg cedió pues se dio cuenta que Bohr tenía razón e incluyó un párrafo final de su trabajo, ya en prensa, agradeciéndoselo.
Después de completar el presente trabajo, las investigaciones recientes de Bohr han llevado a puntos de vista que requieren una profundización y un refinamiento sustanciales del análisis de las relaciones mecánico-cuánticas que se intentan en este trabajo. En este contexto, Bohr señaló que había pasado por alto puntos importantes en algunas de las discusiones de este trabajo. Sobre todo, que la incertidumbre en la observación no se debe exclusivamente a la ocurrencia de discontinuidades, sino que está directamente relacionado con el requisito de abarcar simultáneamente fenómenos que tienen su origen en la teoría corpuscular por un lado y en la teoría ondulatoria por el otro.
Como colofón a esta entrada hemos de decir que uno de los experimentos mentales en los que se basó Heisenberg para mostrar el funcionamiento del principio de incertidumbre tenía que ver con un microscopio imaginario de rayos gamma (fotones de gran energía) y para ello fue fundamental entender el poder de resolución de un microscopio, algo sobre lo que le preguntó Wein durante su examen de doctor y que Heisenberg no supo responder en aquel momento. Resulta curioso como por un lado Einstein y por el otro Wein, ambos contrarios a la mecánica cuántica ayudaron de una forma peculiar a Heisenberg a encontrar el que, sin duda, fue el resultado (y probablemente siga siendo) más controvertido de la Mecánica Cuántica (y probablemente de toda la física) y que terminó echando por tierra con el sueño de la Física Clásica de describir el mundo con una precisión infinita. En palabras del propio Heisenberg
En la formulación estricta de la ley causal ‘si conocemos el presente podremos calcular el futuro’ lo que falla no es la conclusión, sino la premisa.
Como ya contamos, a Einstein no le hizo ninguna gracia ni la interpretación probabilística y mucho menos el principio de incertidumbre por lo que se dedicó durante toda la 5ª Conferencia Solvay celebrada en 1927, donde los principales físicos del momento discutieron sobre la recientemente formulada teoría cuántica (la mecánica cuántica, la mecánica matricial, el principio de incertidumbre, entre otras cosas) a proponerle todas las mañanas a Bohr experimentos imaginarios para demostrarle lo errado de esa interpretación, experimentos que por la noche este le desmontaba. Rendido cuentan que Einstein le dijo a Bohr “Dios no juega a los dados”, pero Bohr sin amilanarse le contestó «Einstein, deja de decirle a Dios qué hacer«.
Hoy la mecánica cuántica y con ella el principio de incertidumbre son aceptados mayoritariamente, y no solo por el enorme éxito de la teoría cuántica, sino porque no se ha conseguido encontrar un solo experimento que la contradiga. De este tema y de la posición de Einstein en los años posteriores hablaremos en una próxima entrada.
Referencias:
[1] David Lindley, Incertidumbre. Einstein, Heisenberg, Bohr y la lucha por la esencia de la ciencia, Ariel, 2008.
[2] Werner Heisenberg, Diálogos sobre la física atómica. La Editorial Católica. Madrid. 1975. También disponible en la Colección Universal de Círculo de Lectores en el volumen titulado “Física cuántica ( Werner Heisenberg, Niels Bohr, Erwin Schrödinger)” Círculo de Lectores. Barcelona. 1996.
[3] Jagdish Mehra and Helmut Rechenberg, The Historical Development of Quantum Theory, Vol. 6, Part 1: The Completion of Quantum Mechanics 1926–1941, Berlin, Springer, 1982.
Sobre la vida de Heisenberg se puede consultar la magnífica biografía
[4] David Cassidy, Uncertainty: the Life and Science of Werner Heisenberg, New York: W. H. Freeman, 1992.
La referencia del artículo original de Heisenberg traducido al inglés es:
[5] Heisenberg, W. (1927) The Physical Content of Quantum Kinematics and Mechanics. In: Wheeler, J.A. and Zurek, W.H., Eds., Quantum Theory and Measurement, Princeton University Press, Princeton, 62-84.
Sobre la imagen destacada: Sobre la primera página de la carta de Heisenberg a Pauli del 23 de feberro de 1927 hemos superpuesto una foto retocada donde se ve a Heisenberg jugando a los dados con Bohr (la original es del congreso de Copenhagen de 1936).
Anexo matemático:
Una deducción muy sencilla del principio de indeterminación de Heisenberg a partir de razonamientos físicos «elementales» se puede encontrar en el magnífico curso de Feynman.
Existen varias pruebas rigurosas desde el punto de vista matemático del principio de incertidumbre que usan distintas técnicas matemáticas. Para los lectores matemáticos incluiremos aquí una versión simplificada de la demostración hecha por Herman Weyl en 1928 (ver su monografía The Theory of Groups and Quantum Mechanics, Dover, 1950). Como se ve en dicha prueba la interpretación probabilística es una premisa esencial.
Imaginemos que tenemos una partícula (por ejemplo el electrón de un átomo de hidrógeno) y queremos saber su posición y su momento. Por sencillez vamos a considerar el caso unidimensional y que nuestra partícula está confinada en un intervalo \([a,b]\) (aunque podríamos considerar todo el eje real vamos a restringirnos a un intervalo acotado). Supongamos que conocemos la función de onda \(\psi(x)\) que describe un estado estacionario de nuestra partícula, i.e., que es solución de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo. Por simplicidad asumiremos también que la función \(\psi(x)\) es real. Entonces, usando la interpretación de Born-Pauli (que ya comentamos antes) para la función \(\psi(x)\), la probabilidad de encontrar la partícula en el intervalo (infinitesimal) \([x,x+dx]\) es \(\psi^2(x)dx\), donde \(\int_{a}^b \psi^2(x)dx=1\). Por tanto, el valor medio \(\overline{x}\) de la posición viene determinado por la integral \(\int_{a}^b x \psi^2(x)dx\) y el del momento \(\overline{p}\) (el lector tendrá que aceptar que esta última expresión, o bien recurrir a cualquier texto introductorio de Mecánica Cuántica para una justificación de la misma) es proporcional a \(\hbar \int_{a}^b \psi(x)\psi'(x)dx\), donde \(\psi’\) denota a la derivada de \(\psi\) y \(\hbar=h/(2\pi)\), siendo \(h\) es la constante de Plack. Sin pérdida de generalidad se puede suponer que tanto \(\overline{x}\) como \(\overline{p}\) son cero. Entonces las desviaciones estándar (es decir la incertidumbre que obtendríamos al medir cualquiera de dichas magnitudes físicas) son, respectivamente
$$(\Delta x)^2=\int_{a}^b x^2 \psi^2(x)dx\quad \mbox{y}\quad(\Delta p)^2=\hbar^2 \int_{a}^b (\psi’)^2(x)dx.$$
Pero usando la desigualdad de Cauchy–Schwarz que establece (para funciones reales)
$$\left(\int_a^b f(x)g(x)dx\right)^2\leq \int_a^b f^2(x) dx \int_a^b g^2(x)dx,$$
obtenemos
$$(\Delta x)^2(\Delta p)^2 \geq \hbar^2 \left(\int_{a}^b x \psi(x) \psi'(x) dx\right)^2= \hbar^2 I^2.$$
Por conveniencia vamos a escribir esta última integral \(I\) como la suma de dos integrales iguales
$$I= \frac12 \int_{a}^b x \psi(x) \psi'(x) dx +\frac12 \int_{a}^b x \psi(x) \psi'(x) dx .$$
A continuación vamos a calcular la segunda integral usando integración por partes. Para ello asumiremos que \(\psi(a)=\psi(b)=0\) (esta suposición es habitual en la mecánica cuántica, especialmente en el caso de un intervalo no acotado). De esta forma, se tiene
$$\int_{a}^b [x \psi(x)] \psi'(x) dx = x\psi^2(x)\bigg|_a^b-\int_{a}^b [x \psi(x)]’ \psi(x) dx=0-\int_{a}^b \psi^2(x) dx – \int_{a}^b x \psi(x)’ \psi(x) dx$$
que, al sustituirla en la expresión de \(I\), nos da (recordemos que \(\int_{a}^b \psi^2(x)dx=1\))
$$I= \int_{a}^b x \psi(x) \psi'(x) dx= – \frac12\int_{a}^b \psi^2(x)dx=-\frac12.$$
Por tanto,
$$(\Delta x)^2(\Delta p)^2 \geq \hbar^2 I ^2= \frac{\hbar^2}{4},$$
es decir, obtenemos la expresión matemática del principio de indeterminación de Heisenberg \(\Delta x \, \Delta p\geq {\hbar}/{2}\).
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