Publicamos la solución al divertimento Vecinos matemáticos. Agradecemos a F. Damián Aranda Ballesteros, Fernando Carreño Navas y Marcos Jiménez y Manuel Zambrana las soluciones que nos han hecho llegar.
Divertimento:
Alejandro y Bernardo son dos matemáticos vecinos que viven en un barrio en el que todas las casas tienen numeración par. Alejandro vive en la casa situada a la derecha de la de Bernardo. En una de sus conversaciones, Bernardo le contó a Alejandro que él no se pudo jubilar antes de los 70 años, y que su vecino de la izquierda tenía ya 75 años y aún seguía en activo. A mí me gustaría jubilarme antes de los 50 años; así aprovecharía para jugar al ajedrez, que es lo que de verdad me gusta –le contestó Alejandro. Bernardo le contestó que también a él le gustaba el ajedrez, porque era un juego para personas inteligentes y aprovechó para decirle a Alejandro que acababa de darse cuenta de que el producto de su edad por el número de su casa era igual al producto de la edad de Alejandro por el número de su casa. ¿Cuáles son los números de las casas de los dos matemáticos y la edad de cada uno de ellos?
Solución:
Sean \(A\), \(a\), \(B\) y \(b\) las edades y los números de las casas de Alejandro y Bernardo, respectivamente. Como Alejandro ocupa una casa individual vecina la de Bernardo y las numeraciones son pares, se tiene que \(a = b + 2\), ya que \(B >A\), y, por tanto, \(a > b\). Por el enunciado, se sabe que \(A \cdot (b+2) = B \cdot b\), de donde \(2 A = b (B – A)\). Además, se tiene que \(B – A > 20\) y así \(b < 2A / 20 = A / 10\). Como \(A < 50\), se tiene que \(b < 50 /10 = 5\). Esto significa que, al ser \(b\) par, solo puede ser \(2\) o \(4\). Sin embargo, el caso \(b = 2\) debe excluirse, ya que Bernardo tiene un vecino a su izquierda, lo cual significa que su casa no puede ser la primera de la calle. Por tanto, \(b = 4\) y \(a= 6\). Entonces, \(2 A = 4 (B –A)\), de donde \(3 A = 2 B\) y por tanto \(A\) tiene que ser par. Como \(B > 70\), entonces \(A > 46\), y como \(A\) era inferior a \(50\), se deduce que \(A\) tiene que ser necesariamente \(48\). Entonces \(B = 3 \cdot 48 / 2 = 72\).
La solución es entonces la siguiente: Alejandro tiene 48 años y vive en la casa número 6, mientras que Bernardo tiene 72 y vive en la casa número 4.
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