Estimación arquimediana de pi

Este divertimento forma parte del concurso de 2022. Aquí están las bases.

Delantal:

Llega marzo, y entre otras cosas, hablamos de \(\pi\). Es conocido que Arquímedes midió en el siglo III a.C. con bastante exactitud la longtitud de la circunferencia acotándola entre los perímetros de dos hexágonos regulares inscritos y circunscritos y doblando posteriormente el número de lados de dichos polígonos. Tras estudiar los perímetros de los polígonos de 6, 12, 24, 48 y 96 lados llegó a obtener una estimación de la longitud de la circunferencia que le llevó a dar el valor aproximado

$$\pi\simeq\frac{22}{7}\simeq3,\!142857$$

como cota superior, que como cota «de bolsillo» funciona razonablemente bien (o quizás, mejor dicho, racionalmente bien). El enorme avance de Arquímedes en el cálculo de cifras decimales de \(\pi\) permaneció intacto durante 400 años, hasta que Claudio Ptolomeo aumentó dos cifras más la cuenta.

A partir del siglo XV el cómputo de cifras decimales aumentó su velocidad. En 1853, William Shanks halló 527 cifras decimales, que aumentó a 707 veinte años después. Esas 707 cifras se utilizaron para adornar una de las salas del Palacio del Descubrimiento, un museo científico inaugurado en París en 1937. La foto de esas cifras adorna también esta entrada. Sin embargo, las cifras que se pueden ver hoy no coinciden con las originales. En 1946, D. F. Ferguson descubrió, calculando nuevos dígitos, que la extensión de Shanks de 1873 era errónea, así que hubo que reemplazar las últimas 180 por las correctas cuatro años después. El cálculo de Ferguson, por cierto, con 620 cifras, supone el récord histórico a mano. Un ejemplo tremendo de concentración, memoria, organización… y toneladas de tiempo libre.

Volviendo a la antigüedad, invitamos a nuestros lectores en este divertimento a rehacer algunos de sus cálculos, estudiando solo polígonos inscritos, en homenaje al gran matemático siracusano y al Día Internacional de las Matemáticas, que se celebra el 14 de marzo.

Divertimento:

Consideremos una circunferencia de radio unidad. Partimos de un cuadrado inscrito en la misma y llamamos \(l_2\) a su lado. A continuación, construimos el polígono inscrito de doble número de lados y reiteramos el procedimiento, y llamamos \(l_n\) al lado del polígono de \(2^n\) lados. Probar que

$$l_n=\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\ldots+\sqrt{2}}}},$$

habiendo en la fórmula anterior \(n-1\) doses. Además, construir la sucesión convergente a \(\pi\) que se obtiene de la anterior.

Solución:

Envía tus soluciones, hasta el domingo 13 de marzo, a la dirección ‘divertimentos-blog-imus(arroba)us.es’. La solución aparecerá el miércoles 16 de marzo. Recuerda no dejar pistas en los comentarios hasta que no se publique la solución del problema.