Publicamos la solución al divertimento Cero, uno, dos, muchos. Gracias a Agustín Martín Agüera, Fernando Carreño Navas, Juan Miguel Expósito, Magdalena Jáñez Vaz, Marcos Jiménez y Manuel Zambrana, Antonio Medinilla y David Ramos Orozco y Victoria Eugenia Peña Blanco por las soluciones que nos habéis hecho llegar. Se han recibido dos soluciones incompletas (Rafael Benzal, Rocío Goñi Villegas).
Divertimento:
¿Es posible rellenar una tabla de tamaño \(n \times n\) con ceros, unos y doses de modo que las sumas de los elementos de cada fila y de cada columna tomen todos los posibles valores de \(1\) a \(2n\)?
(Nota: se debe justificar la respuesta —si es posible o si no— para cada valor de \(n\).)
Solución:
Si \(n\) es impar no se puede, porque la suma de todas las sumas de las filas y las columnas serı́a por un lado \(1 + 2 + \ldots + 2n = n(2n + 1)\), que es impar, y por el otro, el doble de la suma de todas las entradas, que es par.
Si \(n\) es par sı́ se puede. Escribamos \(n= 2m\), y rellenemos la tabla del siguiente modo: por encima de la diagonal principal, escribamos todo doses. Por debajo, todo ceros. En la diagonal principal, añadamos un uno en las primeras \(m\) entradas y un dos en las siguientes \(m\). Ası́, las sumas de las primeras \(m\) filas serı́an \(2n − 1, 2n − 3, \ldots , n + 1\). Las de las siguientes \(m\) filas, \(n, n − 2, \ldots, 2\). Por otro lado, las sumas de las primeras \(m\) columnas serı́an \(1, 3, \ldots , n − 1\), y las de las \(m\) siguientes, \(n + 2, n + 4, \ldots , 2n\).
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