Solución: Estimación arquimediana de pi

Publicamos la solución al divertimento de la estimación arquimediana de pi. Muchas gracias a F. Damián Aranda, Rafael Benzal, Fernando Carreño, Rocío Goñi, Marcos Jiménez y Manuel Zambrana, Agustín Martín, Antonio Medinilla y David Ramos y Victoria Peña. Se ha recibido una solución incompleta, de Juan Miguel Expósito.

Divertimento:

Consideremos una circunferencia de radio unidad. Partimos de un cuadrado inscrito en la misma y llamamos \(l_2\) a su lado. A continuación, construimos el polígono inscrito de doble número de lados y reiteramos el procedimiento, y llamamos \(l_n\) al lado del polígono de \(2^n\) lados. Probar que

$$l_n=\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\ldots+\sqrt{2}}}},$$

habiendo en la fórmula anterior \(n-1\) doses. Además, construir la sucesión convergente a \(\pi\) que se obtiene de la anterior.

Solución:

Consideremos una circunferencia de radio \(1\) y una cuerda de longitud \(l\). El triángulo isósceles determinado por la cuerda y los radios a los extremos de la misma tiene una altura igual a

$$h=\sqrt{1-\frac{l^2}{4}},$$

por lo que la distancia desde el punto medio de la cuerda a la circunferencia es

$$d=1-\sqrt{1-\frac{l^2}{4}}.$$

Una vez visto esto, probemos por inducción la fórmula. Es cierta para \(n=2\). Admitámosla como cierta para \(n=r\). Entonces,

$$d_r=1–\sqrt{1-\frac{l_r^2}{4}}=1-\sqrt{1-\frac{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\ldots+\sqrt{2}}}}{4}}=1-\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\ldots+\sqrt{2}}}}}{2},$$

donde dentro de la primera raíz sigue habiendo la misma cantidad de doses. Por consiguiente,

$$l_{r+1}=\sqrt{\frac{l_r^2}{4}+d_r^2}=\sqrt{2-2\sqrt{1-\frac{l_r^2}{4}}}=\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\ldots+\sqrt{2}}}},$$

y ahora aparece un dos más dentro de la primera raíz.

En cuanto a la sucesión que converge a \(\pi\), el perímetro del polígono de \(2^n\) lados es \(p_n=2^nl_n\), que debe tender a la longitud de la circunferencia, \(2\pi\), así que la sucesión candidata sería \(2^{n-1}l_n\).

Podríamos continuar y ver rigurosamente que esta sucesión es correcta. Para ello vamos a reescribir el valor de \(l_n\). En efecto, el ángulo desigual del triángulo isósceles formado por dos radios y una cuerda del polígono de \(2^n\) lados es \(\pi/2^n\), así que \(l_n=2\,\text{sen}(\pi/2^n)\). Y el argumento es sencillo ahora: como la sucesión \(\pi/2^n\) tiende a cero cuando \(n\) tiende a infinito, el límite de \(2^{n-1}l_n\) sería

$$\lim_{n\rightarrow\infty}\pi \frac{2^n}{\pi}\text{sen}(\pi/2^n)=\lim_{x\rightarrow 0}\pi\frac{\text{sen}\, x}{x}=\pi.$$