Publicamos la solución al divertimento de los 2021 puntos y los 2021 segmentos. Muchas gracias a Fernando Carreño, Magdalena Jáñez, Marcos Jiménez y Manuel Zambrana, Agustín Martín, Antonio Medinilla y David Ramos y Victoria Peña. Se han recibido dos soluciones incompletas, de F. Damián Aranda y Juan Miguel Expósito. En esta ocasión, al igual que con la del rompecabezas con signo, la didáctica solución al divertimento también aparece en vídeo.
Divertimento:
Consideremos dos mil veintiún puntos del plano \(P_1,P_2\ldots,P_{2021}\), y los dos mil veintiún segmentos \(P_1P_2,P_2P_3,\ldots,P_{2021}P_1\). ¿Existe una recta que corte a cada uno de esos segmentos sin pasar por los puntos dados?
Solución:
Supongamos que existe tal recta, \(r\), que corta a todos los segmentos. Llamemos \(A\) al semiplano definido por \(r\) en el que está el punto \(P_1\). Entonces \(P_2\) estará en el otro semiplano, digamos \(B\), porque la recta corta al segmento que los une. Como \(r\) corta también al segmento \(P_2P_3\), el punto \(P_3\) está en el semiplano \(A\). Razonando sucesivamente con los otros segmentos, llegamos a que todos los puntos impares están en \(A\) y los pares en \(B\). Por tanto, tanto \(P_1\) como \(P_{2021}\) están en \(A\), que se contradice con que el último segmento, \(P_1P_{2021}\) es cortado por \(r\). En conclusión, no puede existir tal recta.
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