Dirac y la mecánica cuántica relativista

Uno de los grandes protagonistas en la creación de lo que hoy llamamos Mecánica Cuántica fue sin duda el inglés Paul A.M. Dirac. Nacido en Bristol en 1902 de padre suizo que se ganaba la vida como profesor de francés y madre inglesa. Su infancia no fue precisamente feliz lo que le marcó de por vida y lo convirtió en una persona tremendamente tímida e introvertida. El mismo lo contó en 1962:

De hecho, no tuve vida social en absoluto cuando era niño. . . . Mi padre me impuso la regla de que solo podía hablarle en francés. Pensó que sería bueno para mí aprender el francés de esa forma. Descubrí que no podía expresarme en francés, y que era mejor para mí quedarme en silencio que hablar en inglés. Así que me quedé muy silencioso desde ese momento.

El solitario Dirac incapaz de interaccionar con su entorno encontró en el estudio de la física y especialmente las matemáticas una forma de escapar de su triste vida. De hecho, la escuela donde Dirac estudió apenas fomentaba ninguna materia aparte de las científicas y prácticas, algo que Dirac agradeció. Entró muy joven en la universidad y se graduó como ingeniero eléctrico (fue una decisión que tomó su tiránico padre y se la impuso a sus dos hijos varones). Tras terminar, afortunadamente para todos, no pudo encontrar trabajo como ingeniero y después de unos meses sin hacer nada consiguió una beca para estudiar matemáticas en la Universidad de Bristol. Se graduó en matemática aplicada en solo dos años y obtuvo una beca para completar su información en Cambridge a donde se mudó en el otoño de 1923.

En Cambridge Dirac, que había quedado prendado por la teoría de la relatividad general de Einstein, tenía la intención de que le dirigiera la tesis Ebenezer Cunningham en algo relacionado con ella, pero este declinó y finalmente le asignaron como director a Ralph Fowler. Probablemente esto fue lo mejor que le pudo pasar al joven Dirac, pues Fowler era uno de los pocos físicos británicos que conocía y le interesaba la también muy nueva teoría cuántica. Dirac no tenía ni idea de esas nuevas ideas y se puso a estudiar el tema intensamente asistiendo a los cursos de Fowler y leyendo todo lo que podía en la biblioteca de Cambridge. Como Dirac entendía razonablemente bien el alemán pudo leer todos los trabajos publicados por los físicos alemanes que eran los más avanzados en ese momento. Armado con esos conocimientos Dirac comenzó a publicar sus primeros resultados en la primavera de 1924 y un año después ya tenía siete artículos en distintas áreas de la física.

Como cuenta Helge Kragh en su biografía de Dirac, en el verano de 1925 Dirac ya era un físico reconocido en Cambridge con un futuro prometedor, pero aún desconocido fuera de Gran Bretaña. Dirac estaba preparado para problemas más complicados.

No está claro si Dirac asistió a la conferencia que impartió Heisenberg el 28 de julio de 1925 en el Club Kapitza de Cambridge sobre espectroscopía (hay mucha controversia sobre ello), pero de lo que no hay duda es que Fowler, que sí asistió, le envió unas semanas después a Dirac una copia del trabajo de Heisenberg del que ya hablamos en otra entrada donde, en la parte superior de la primera página le escribió: «¿Qué piensas de esto? Me alegrará saberlo».

Dirac se sumergió en el trabajo de Heisenberg pero, como él mismo reconoció años más tarde, su primera impresión fue que no era tan interesante. Pero eso cambió muy pronto. A finales de agosto de 1925 Dirac descubrió que el trabajo de Heisenberg iba a revolucionar la física. Dirac acaba de encontrar el problema difícil que estaba buscando.

Curiosamente a Dirac le pasó como a los otros dos protagonistas de la Mecánica Cuántica, el propio Heisenberg y Schrödinger. Pero dejémosle que nos lo cuente el propio Paul

Regresé a Cambridge a principios de octubre de 1925 y reanudé mi estilo de vida anterior, pensando intensamente en estos problemas durante la semana y relajándome los domingos, dando un largo paseo por el campo en solitario. El objetivo principal de estas largas caminatas era descansar para poder empezar el lunes siguiente renovado. . . . Fue durante uno de los paseos dominicales de octubre de 1925, cuando, a pesar de mi intención de relajarme, estaba pensando mucho en la relación \(uv – vu\), y pensé en los corchetes de Poisson. Recordé algo que había leído anteriormente en libros avanzados de dinámica sobre estas extrañas cantidades, los corchetes de Poisson, y por lo que podía recordar, parecía haber una gran similitud entre un corchete de Poisson de dos cantidades, \(u\) y \(v\), y el conmutador \(uv – vu\). Supongo que la idea primero surgió como un relámpago y, por supuesto, proporcionó algo de emoción, y luego, por supuesto, vino la reacción: «No, esto probablemente esté mal».

Como era domingo Dirac tuvo que esperar hasta el lunes que abriera la biblioteca y fue a buscar un libro avanzado que le confirmara si se le había ocurrido una buena idea o no. No era de extrañar que a Dirac le sonara la relación \(uv – vu\). En la mecánica Hamiltoniana una de las estructuras más importantes son los corchetes (o llaves) de Poisson. Su definición es como sigue: dadas dos cantidades \(u:=u(p,q)\) y \(v:=u(p,q)\), donde \(p=(p_1,p_2,\dots,p_n)\) y \(q=(q_1,q_2,\dots,q_n)\) son ciertas variables canónicas (por ejemplo la posición \(q\) y el momento lineal \(p\)) entonces se define las llaves de Poisson \(\{u,v\}\) mediante la fórmula
$$
\{u,v\}=\frac{\partial u}{\partial q_i}\frac{\partial v}{\partial p_i}-\frac{\partial u}{\partial p_i}\frac{\partial v}{\partial q_i},\quad i=1,\dots,k.
$$
Usando la fórmula anterior se puede comprobar que
$$
\{q_j,q_k\}=\{p_j,p_k\}= 0 \mbox{ para todos } j,k=1,\dots,n,
$$
y lo que para Dirac era muy revelador
$$
\{q_j,p_k\}=-\{p_j,q_k\}= \left\{\begin{array}{l} 0 \mbox{ si } j\neq k \\ 1 \mbox{ si } j=k
\end{array}\right.
$$
Dándole vueltas a lo anterior Dirac descubrió por su cuenta la famosa relación de Born de la que ya hablamos aquí
$$
[p,q]:=pq-qp=\frac{h}{2\pi} I
$$
pero en un contexto más general. En particular, usando la analogía entre los corchetes de Poisson \(\{u,v\}\) y el conmutador \([u,v]\) dedujo una ecuación para describir la dinámica de una variable cuántica \(u\) (por ejemplo la posición o el momento de una partícula)
$$
\frac{du}{dt}=uH-Hu=[u,H],
$$
donde \(H\) es la variable cuántica asociada al Hamiltoniano del sistema y que supuso que no dependía explícitamente del tiempo. En particular si \(u=H\), entonces
$$
\frac{dH}{dt}=[H,H]=0,
$$
es decir, \(H\) es constante en el tiempo, lo que equivalía a la conservación de la energía del sistema.

El 7 de noviembre Dirac enviaba a los Proceedings of the Royal Society of London un artículo titulado «The Fundamental Equations of Quantum Mechanics» que iba mucho más allá de lo que Heisenberg había descubierto.

El propio Heisenberg quedó sorprendido con los resultados de Dirac y así le escribiría tras haber leido el trabajo que Paul le hizo llegar, donde además le comentaba que varios de esos resultados los habían encontrado ellos también:

Espero que no le moleste el hecho de que, parte de sus resultados se han encontrado aquí hace algún tiempo y se han publicado de forma independiente en dos artículos, uno de Born y Jordan, el otro de Born, Jordan y yo, en Zeitschrift für Physik. Sin embargo, sus resultados no son menos importantes; por un lado, sus resultados, especialmente en lo que se refiere a la definición general de la derivada cuántica [como derivar variables cuánticas] y la conexión de las condiciones cuánticas con los corchetes de Poisson, van mucho más allá que el trabajo recién mencionado; por otro lado, su artículo también está escrito realmente mejor y de manera más concisa que nuestras formulaciones.

Tras su primer éxito Dirac se propuso atacar otros problemas, por ejemplo el del espectro del átomo de hidrógeno, pero lo que lo consagraría fue sin duda un trabajo donde dedujo las fórmula del efecto Compton del que ya hablamos en su momento. Cuando Dirac comparó sus resultados con los resultados experimentales de Comptom descubrió que sus resultados teóricos tenían una discrepancia de un 25% con los experimentales, sin embargo tan seguro estaba Dirac de su teoría que escribió que dicha discrepancia “sugiere que los valores de Compton son, en valor absoluto, un 25 por ciento más pequeños”. Cuando el propio Compton leyó el trabajo de Dirac se quedó asombrado y le escribió una carta donde le explicaba que unos colegas de Chicago habían vuelto a repetir las mediciones experimentales y que los nuevos resultados confirmaban plenamente su teoría (la de Dirac).

El 1926, aún sin terminar su tesis doctoral, Dirac ya no era un desconocido en el mundo de la Física. En 1926 Fowler le pidió que diera un curso sobre la Mecánica Cuántica al cual asistieron ilustres “alumnos” entre los que se encontraba el propio Fowler y un jovensísimo Oppenheimer (el director del futuro proyecto Manhattan para la fabricación de la bomba atómica). De esas conferencias Dirac preparó un libro que se publicó por primera vez en 1930 y que hoy día sigue siendo una de las referencias básicas de la Mecánica Cuántica: The Principles of Quantum Mechanic (Oxford University Press) que entre otras cosas, unificaba la mecánica matricial de Heisenberg y la ondulatoria de Schrödinger. A mediados de 1926 Dirac defendió su tesis y se marchó primero a Copenhague y luego a Gotinga. De vuelta en Cambridge regresa a uno de sus juegos científicos favoritos: conseguir compatibilizar una teoría no relativista (que solo vale para velocidades pequeñas en comparación con la de la luz) con la teoría de la relatividad especial. Esta vez le toca a las ecuaciones de la propia mecánica cuántica. De esta forma en 1928 descubrió la ecuación que describía el átomo de hidrógeno relativista, de cuyo análisis dedujo en 1931 que debería existir en la naturaleza una partícula idéntica al electrón pero con carga positiva y a la llamó anti-electrón y que es la que hoy conocemos como positrón y que fue descubierto el 2 de agosto de 1932 por físico estadounidense Carl David Anderson. No puedo dejar de hacer notar que todos estos artículos, incluido el libro antes mencionados fueron firmados únicamente por Dirac. Sin duda eran otros tiempos. Pero es hora de que hablemos un poco más sobre la ecuación de Dirac para el electrón relativista.

La ecuación de Dirac para el electrón la podemos escribir de la siguiente forma:
$$
\left(\beta m c^2 – i c \hbar \alpha_1 \frac{\partial }{\partial x}- i c \hbar \alpha_2 \frac{\partial }{\partial y}
– i c \hbar \alpha_3 \frac{\partial }{\partial z} + V(x,y,z)\right) \psi(x,t) = i\hbar \frac{\partial \psi(x,t)}{\partial t}.
$$
donde \(\psi\) es un vector con cuatro componentes \((\psi_1,\psi_2,\psi_3,\psi_4)\), \(\alpha_i\) son las siguientes matrices
$$
\alpha_i= \begin{pmatrix}0&\sigma_i\\ \sigma_i&0\end{pmatrix},\quad i=1,2,3
$$
y
\[
\sigma_1 =
\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}, \quad
\sigma_2 =
\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix} , \quad
\sigma_3 =
\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}
\]
son las matrices de Pauli. En las expresiones anteriores \(\hbar\) es la constante de Planck, \(m\) la masa del electrón y \(c\) la velocidad de la luz.

Un simple vistazo muestra que la ecuación de Dirac es mucho más complicada que la de Schrödinger. Para empezar la función de onda dejaba de ser una función escalar (es decir unidimensional) a ser un vector cuatridimensional al que se le denominó espinor.  Cuando Dirac aplicó su ecuación al átomo de hidrógeno, es decir, cuando
$$
V=-\frac{e^2}{r},
$$donde \(e\) es, es la carga del electrón, obtuvo los niveles de energía del electrón:
$$
E_{n,j}={\frac{mc^2}{\sqrt{1+{ \dfrac{\alpha^2}{\left(n-j-1/2+\sqrt{(j+1/2)^2-\alpha^2}\right)^2}}}}}, \quad \alpha=\frac{e^2}{\hbar c}\approx\frac{1}{137},
$$
siendo \(\alpha\) la denominada constante de estructura fina de Sommerfeld. Aquí \(n\) es un número entero positivo (el llamado número cuántico principal) y \(j\) toma los valores \(j=1/2,1,3/2,\dots\) y está relacionado con el momento angular del electrón (y el spin, pero de este hablaremos en otra ocasión). Si se tiene en cuenta que \(\alpha\) es pequeño se obtiene el siguiente valor aproximado de la energía (donde se ha sustraído la energía de la masa en reposo \(mc^2\))
$$
E_{n,j}\approx-\frac{\alpha^2}{2 n^2}- \frac{\alpha^4}{2 n^4}\left[ \frac{n}{j+1/2}-\frac34\right].
$$
El primer sumando coincide con el valor obtenido por Borh y Schrödinger, mientras que el segundo es la corrección relativista de Sommerfeld. De hecho, la fórmula que derivó Dirac se correspondía con la que el propio Sommerfeld dedujera usando la vieja teoría cuántica en 1915 y que publicó en 1916 en su famoso artículo «Zur Quantentheorie der Spektrallinien» en Annalen der Physik.

Finalmente Dirac recibió el premio nobel de Física junto con Schrödinger, ambos por sus «descubrimiento de nuevas productivas formas de la teoría atómica» aunque en el caso de Dirac además se hace especial hincapié en la ecuación relativista del electrón y de la predicción de la primera de las antipartículas: el positrón. No abundaremos más sobre este último descubrimiento pues ya en una entrada anterior Antonio Durán ha hablado de ello.

Antes de terminar esta entrada dedicada a Dirac no puede dejar de mencionar su insistencia en buscar la belleza matemática en todas sus teorías (ver al respecto esta entrada y esta otra). En 1939 Dirac dictó una interesante conferencia titulada The Relation between Mathematics and Physics (La relación entre la Física y la Matemática, publicada luego en 1940) donde afirmaba lo que para él era toda una filosofía de trabajo:

El investigador, en sus esfuerzos por expresar las leyes fundamentales de la naturaleza en forma matemática, debe luchar principalmente por la belleza matemática. Debe tomar en consideración la simplicidad, pero de un modo subordinado a la belleza… Sucede a menudo que los requerimientos de simplicidad y belleza son los mismos, pero cuando entran en contradicción, la última debe tener la preferencia.

Dirac recurrió a dicho principio durante toda su vida científica. Quiero terminar esta entrada con una de las mejores reflexiones sobre la Física y las Matemáticas dichas por este genio del siglo XX en esa misma conferencia:

Las matemáticas puras y la física están cada vez más relacionadas aunque sus métodos siguen siendo diferentes. Uno puede describir la situación diciendo que el matemático juega a un juego en el que él mismo inventa las reglas, mientras que el físico juega a otro en que las reglas vienen fijadas por la naturaleza, pero con el transcurrir del tiempo se hace cada vez más evidente que las reglas que los matemáticos encuentran interesantes son las mismas que ha elegido la naturaleza.

Para saber más.

Hay dos biografías magníficas de Dirac.

[1] Helge Kragh, Dirac: A Scientific Biography, Cambridge University Press (1990)

[2] Graham Farmelo, The Strangest Man: The Hidden Life of Paul Dirac, Quantum Genius. Faber and Faber, 2009.

En castellano se puede consultar el libro

[3] Sergio Baselga Moreno, Dirac: La belleza matemática, Nivola (2008)

Dos artículos que cuentan divertidas anécdotas de Dirac están disponibles en la web:

[4] Manuel de León, Cuando el ‘dirac’ fue una unidad de medida. Publicado en The conversation el 4 de julio de 2021.

[5] Richard Gunderman, The life-changing love of one of the 20th century’s greatest physicists. Publicado en The conversation el 9 de diciembre de 2015.