Publicamos la solución al divertimento de los alumnos de Matemática Discreta. Muchas gracias a F. Damián Aranda, Rafael Benzal, Fernando Carreño, Juan Miguel Expósito, Rocío Goñi, Magdalena Jáñez, Marcos Jiménez y Manuel Zambrana, Agustín Martín, Antonio Medinilla y David Ramos y Cristóbal Sánchez-Rubio por sus respuestas.
Divertimento:
El objetivo es hallar el número de estudiantes que han cursado con Isabel Fernández, nuestra presentadora, la asignatura Matemática Discreta.
Dicho número tiene cuatro cifras diferentes. Si se suman todos los números que es posible formar con esas cuatro cifras, tomadas de tres en tres (se entiende que las cifras son no nulas), se obtiene el cuadrado de la suma de esas cuatro cifras multiplicado por la edad de nuestra presentadora, que coincide con el número total de estudiantes multiplicado por \(36/13\). Por cierto, aunque no haga falta, Isabel tiene menos de \(70\) años.
Con estos datos, ¿cuántos estudiantes ha tenido Isabel Fernández?
Solución:
Sea \(N=1000a+100b+10c+d\) la cantidad de alumnos de Isabel Fernández. Las combinaciones de cuatro cifras distintas tomadas de tres en tres son \({4\choose 3} =4\) y las permutaciones de tres cifras distintas son \(3!=6\). Por tanto, hay un total de \(4\cdot 6 = 24\) números que se pueden tomar con las cuatro cifras de \(N\).
Si, por ejemplo, se eligen las cifras \(a\), \(b\) y \(c\), se tiene que
\begin{align*}
abc &= 100 a + 10 b + c,\quad acb = 100 a + 10 c + b, \quad bac = 100 b + 10 a + c,\\
bca &= 100 b + 10 c + a,\quad cab = 100 c + 10 a + b,\quad cba = 100 c + 10 b + a.
\end{align*}
Con ello, la suma de estas \(6\) permutaciones es \(222 (a + b + c)\).
Por tanto, la suma de los \(24\) números posibles es
$$222 ((a + b + c) + (b + c + d) + (a + c + d) + (a + b + d) + (b + c + d)) = 666 (a + b + c + d).$$
Si llamamos \(e\) a la edad de nuestra protagonista, se tiene que \(666(a + b + c + d) = e (a + b + c + d)^2\), es decir,
$$a + b + c + d = 666/e = (2\cdot3^2\cdot37)/e.$$
Entonces, como la suma de cuatro cifras cualesquiera distintas es menor o igual que \(30\) y \(e\) debe ser un divisor de \(666\), se tiene que \(e\) debe ser \(37\), teniendo en cuenta que Isabel Fernández es menor de \(70\) años (menos mal que nos lo aclaró).
En conclusión, \(a + b + c + d = 666/37 = 18\), por lo que, finalmente, de \(666 (a + b + c + d) = 666\cdot 18= 36N/13\) se sigue que la cantidad de alumnos es \(N=4329\).
Marcos Jiménez y Manuel Zambrana nos han enviado su solución con una ligera variante del argumento que aligera aún más el cálculo: como \(666(a+b+c+d)=\frac{36}{13} N\), simplificando tenemos que \(a+b+c+d=\frac{2}{481}N\), así que \(N\) es divisible por \(481\) y la suma de sus cifras es par. Las únicas cuatro posibilidades con las cifras distintas son \(1924\), \(4329\), \(6253\) y \(6734\), pero solo el segundo satisface la ecuación anterior. Obsérvese que no hace falta conocer la edad de nadie para resolver el divertimento y se puede ser aún más discreto…
En el fondo, si hubiéramos sabido que \(N\) no incluye al cero entre sus cifras, podríamos haber omitido el argumento de la edad como en la solución alternativa, pues la suma \(a+b+c+d\) necesariamente sería al menos \(10\), y el único divisor de \(666\) entre \(10\) y \(30\) es \(18\).
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