Solución: Parejas en la feria

Publicamos la solución al divertimento Parejas en la Feria. En esta ocasión, Fernando Carreño, Juan Miguel Expósito, Nicolás Fernández, Rocío Goñi, Marcos Jiménez y Manuel Zambrana, Agustín Martín, Antonio Medinilla y David Ramos, Victoria Eugenia Peña y Enrique Zubiría nos han hecho llegar soluciones correctas.

Divertimento:

Tres parejas de amigos, formadas por Juan, Juana, Pepe, Pepa, Julio y Julia van a la feria. Todos ellos compraron uno o varios objetos y cada uno de ellos pagó tantos euros por cada objeto que compró como el número de objetos que compró. Juan, que a pesar de lo que bailó con su mujer fue quien más gastó, compró 23 objetos más que Pepa y Juana compró 11 objetos más que Julio. Además, la diferencia de gasto en cada pareja fue de 63 euros. ¿Cómo están formadas las parejas?

Solución:

Llamemos \(m\) y \(n\) al número de objetos que compraron los miembros de cualquiera de las parejas, suponiendo que \(m>n\). Entonces, \(63=m^2-n^2=(m+n)(m-n)\). Hay tres formas distintas de descomponer 63 en un producto de dos factores:

• \(63 = 63 \cdot 1\), lo que implica que \(m + n = 63, m – n = 1\), de donde \(m = 32, n = 31\).
• \(63 = 21\cdot 3\), lo que implica que \(m + n = 21, m – n = 3\), de donde \(m = 12, n = 9\).
• \(63 = 9\cdot 7\), lo que implica que \(m + n = 9, m – n = 7\), de donde \(m = 8, n = 1\).

Entre esos seis números obtenidos, solo hay un par, 12 y 1, cuya diferencia sea 11. Por tanto, Juana compró 12 objetos y su pareja, 9. Y Julio compró 1 objeto y su pareja, 8.

Hay dos parejas de números cuya diferencia sea 23. Sin embargo, como Juan fue quien más gasto, deducimos que Juan compró 32 objetos (y su pareja 31) y Pepa 9, que debe ser la mujer de Juana. Quedan por asignar Pepe y Julia, así que de acuerdo con el enunciado, las parejas las formaban Juan y Julia, Juana y Pepa y Pepe y Julio.