El Joven Young

Los famosos Young

Young es un apellido relativamente corriente en el mundo. Al día de hoy, se contabilizan 616416, 88481 y 54016 personas así llamadas respectivamente en Estados Unidos, Inglaterra y Canadá.

Preguntémonos cuántos Young son o han sido conocidos hasta el momento. Bien, al menos, tenemos los que siguen:

• Robert Young (1907-1998), actor estadounidense, muy conocido por su papel protagonista en la serie televisiva Marcus Welby, M.D. Siempre representó en la pantalla personajes felices, pero tuvo una vida personal complicada. Sufrió depresión y alcoholismo e incluso protagonizó un intento de suicidio de 1991.

• Loretta Young (1913-2000), actriz estadounidense, ganadora de un Óscar a la mejor actriz protagonista por la película de 1947 «Un destino de mujer».

• Neil Young (n. en 1945), músico canadiense, considerado uno de los más influyentes de su generación. Es también bien conocido por defender causas humanitarias y medio-ambientales. Por cierto, recientemente ha retirado su música de la plataforma Spotify en protesta al apoyo al pódcast del cómico estadounidense Joe Rogan, desde el que se da un altavoz a personajes antivacunas.

Adicionalmente, tenemos cinco científicos británicos de los que hablaremos a continuación.

¿Qué lleva el nombre de Young en Ciencia?

En Física, el experimento de Young, que contribuyó a demostrar la dualidad onda-partícula. Fue realizado por Thomas Young (1773-1829) hacia 1800. Este Young también es célebre por haber ayudado a descifrar los jeroglíficos egipcios a partir de la piedra Rosetta.

En Elasticidad, el módulo de Young es una constante que relaciona la tensión con la deformación de un medio. Se denomina así también en honor de Thomas Young.

En Matemáticas, una tabla de Young es un objeto combinatorio relacionado con las representaciones de grupos. Son objetos de estudio en el área de la combinatoria algebraica y deben su nombre al matemático inglés Alfred Young (1873-1940).

También tenemos las desigualdades de Young (para productos, para productos de convolución, para operadores integrales, etc.) y el Teorema de Young para las derivadas parciales cruzadas (a este respecto, véase [2]). Todos estos resultados hacen referencia a William Henry Young (1863-1942).

Finalmente, podemos hablar de las medidas de Young, introducidas por el hijo de éste, Laurence Chisholm Young (1905-2000).

Los Young-Chisholm: el padre, la madre, la hija y el hijo

William Henry Young fue un matemático inglés. Fue el esposo de Grace Chisholm Young (1868-1944), con quien compartió la autoría de un buen número de artículos en donde sólo figuraba su nombre. Para hacernos una idea de la situación, he aquí un fragmento de una carta dirigida a su mujer, donde se refería a los trabajos realizados en común:

«… deberían publicarse conjuntamente, pero entonces ninguno de los dos nos beneficiaríamos. No. Míos son los laureles y el conocimiento. Tuyo sólo el conocimiento. De momento no puedes dedicarte profesionalmente. Tienes a tus hijos. Yo sí puedo.»

William Henry fue el presidente de la Unión Matemática Internacional de 1929 a 1936. Ya tuvimos la ocasión de hablar de él en este Blog, en una entrada reciente.

Por su parte, Grace Chisholm Young, aparte de tener que conformarse con trabajar en la sombra, también tuvo tiempo para brillar por sí sola. En 1916, recibió el Gamble Prize for Mathematics de la Universidad de Cambridge por sus aportaciones al Cálculo. Adicionalmente, llevó a cabo estudios de Medicina y de Música, aprendió a hablar y escribir correctamente seis idiomas, publicó varios libros para niños, etc. Una verdadera heroína de su tiempo.

Del matrimonio Young nacieron dos hijos matemáticos. En primer lugar, tenemos a Rosalind Cecilia Hildegard Tanner (nacida Young, 1900-1992), que vivió en Gotinga. Trabajó inicialmente con su padre y, más tarde, con E.W. Hobson en cuestiones ligadas a la integral de Stieltjes. A partir de 1936, se dedicó casi por completo a la Historia de las Matemáticas.

También tenemos a Laurence Chisholm Young (1905-2000), bien conocido por sus contribuciones a la Teoría de la Medida, el Cálculo de Variaciones y la Teoría de Control. Se estableció en 1949 en Estados Unidos. Las medidas de Young reciben esta denominación en su honor. También se deben a él los conceptos de curva generalizada y superficie generalizada, que acabaron dando lugar a las varifolds, una generalización de la idea de variedad diferenciable en el contexto de la teoría de la medida.

Historias y anécdotas del joven Young

Tuve la suerte de conocer a Laurence Chisholm Young en Toulouse, en 1985. Se había jubilado en 1975 y se había instalado ese año en Brasil, a caballo entre la Universidad de Campinas y el IMPA de Rio de Janeiro, donde enseñaba y tutorizaba alumnos de Doctorado. Un año antes, a propuesta de Jean-Pierre Aubin, había sido investido Doctor Honoris Causa por la Université Paris-Dauphine (Paris 9).

Su figura era imponente, casi parecía sacado de un cuadro. Aparte del inglés, era capaz de hablar, leer y escribir en varios idiomas y tenía considerables conocimientos de latín y griego; era un pianista y ajedrecista de buen nivel; jugaba al tenis y era un gran aficionado al senderismo y más cosas.

Recuerdo que disfrutaba contando historias y anécdotas interesantes de corrillo en corrillo, hablando de científicos de primera talla que había conocido en su niñez y adolescencia: Carathéodory, Hardy, Littlewood, Einstein, etc. Estar cerca de él en los desplazamientos en autobús del hotel al congreso y viceversa era un verdadero disfrute.

Por ejemplo, contó que hacia 1930, en su primer congreso, fue presentado por Lebesgue del siguiente modo: «… y ahora voy a dar la palabra al más joven de todos los que estamos aquí.»

También contó que, cuando ocupó plaza de Profesor en Ciudad El Cabo en 1938, llegó con tan poca experiencia y tanta bisoñez que era incapaz de entretener con discursos a la alta sociedad blanca, algo casi imperdonable en un profesor venido del Reino Unido en aquella época.

Dado que tenía un carácter abierto, amistoso y jovial, también se convertía en centro de atención e incluso diana de bromas de otros colegas. Así, el conocido especialista en Optimización Frank Clarke, dijo en su intervención: «Es de justicia mencionar el magnífico libro escrito por nuestro colega Laurence hace ya quince años. Llegó a mí cuando era estudiante de doctorado. Un libro estupendo. Bueno, en realidad, aún lo estoy leyendo …» (se refería a la referencia [3]).

A instancias de sus amigos y allegados, Young acabó escribiendo otro libro de título «Mathematicians and Their Times. History of Mathematics and Mathematics of History», donde intentó exponer su opinión sobre lo que es valioso o no en Matemáticas, basándose en sus experiencias personales; véase [4].

He entresacado algunas frases que me parecen de interés:

– Algunos distinguen con rigidez mental la matemática pura de la matemática aplicada y tildan poco menos que de traidores a los matemáticos que «pasan» de «puro» a «aplicado» o viceversa. Nunca conocí nada tan mojigato. Las distinciones son para los botánicos y los abogados. Los matemáticos deben investigar lo que es importante, sin prejuicios ni barreras.

– Yo aprendí a asociar las Matemáticas (las del pasado y las actuales) no con definiciones y teoremas, algoritmos y pruebas y aún menos con largas fórmulas, sino con las mentes creativas que las desarrollaron. Me enseñaron a valorar no ya lo que consiguieron sino, sobre todo, lo que intentaron y el modo en que razonaron, incluso los errores que cometieron.

– El pasado es un laboratorio de experiencias humanas, de las cuales deberíamos aprender.

En los últimos años de su vida, se dedicó, entre otras cosas, a traducir poesía clásica del griego antiguo a varios idiomas, entre otros francés, alemán, inglés e italiano.

Para lectores interesados y exigentes:

¿Qué dicen las desigualdades de Young padre?

En su versión más simple, la desigualdad de Young para un producto es la siguiente:
$$
ab \leq \frac{a^p}{p} + \frac{b^{p’}}{p’} \quad \forall a,b \in {\bf R}_+ ,
$$
donde \(p \in (1,+\infty)\) y el exponente conjugado \(p’\) verifica \(\frac{1}{p} + \frac{1}{p’} = 1\).

Posee numerosas generalizaciones. Entre otras, la que sigue: si \(X\) es un espacio vectorial cuyo dual es \(X^*\), \(f : X \mapsto {\bf R}\) es una función convexa y \(f^* : X^* \mapsto {\bf R}\) es la correspondiente convexa conjugada, entonces

$$
\langle y,x \rangle \leq f^*(y) + f(x) \quad \forall x \in X, \quad \forall y \in X^*,
$$

donde \(\langle \cdot\,,\cdot \rangle\) es el producto de dualidad asociado a \(X^* \times X\).

La desigualdad de Young para un producto de convolución se puede enunciar de esta forma: sean \(p, q, r \in [1,+\infty]\) con \(\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = \frac{1}{r} + 1\) y supongamos que \(f \in L^p({\bf R}^n)\) y \(g \in L^q({\bf R}^n)\); entonces el producto de convolución \(f*g\) pertenece a \(L^r({\bf R}^n)\) y además
$$
\| f*g \|_{L^r} \leq \| f \|_{L^p} \| g \|_{L^q} .
$$

En realidad, esta desigualdad es un caso particular de la llamada desigualdad de Young para operadores integrales; véase por ejemplo [5].

¿Qué son las medidas del joven Young?

Para comprender bien su definición, pensemos en una ecuación bien sencilla: \(F(u) = 0\), con \(F : {\bf R} \mapsto {\bf R}\) una función continua dada. Si \(\bar{u} \in {\bf R}\) es una solución, una forma alternativa de escribir la ecuación es poner
$$
\langle \delta_{\bar{u}},F \rangle = 0.
$$

Aquí, \(\langle\cdot\,,\cdot\rangle\) es un producto de dualidad asociado al espacio de las funciones continuas definidas en \({\bf R}\) y \(\delta_{\bar{u}}\) es la forma lineal «delta de Dirac» asociada a \(\bar{u}\).

Por tanto, podemos decir que una solución «generalizada» de la ecuación es una forma lineal \(L\) tal que \(\langle L,F \rangle = 0\).

Esta definición se extiende a situaciones mucho más complicadas. Por ejemplo, si \(X\) es un espacio de funciones definidas en el abierto \(\Omega \subset {\bf R}^n\) y \(M\) es un operador no lineal en derivadas parciales que envía \(X\) en (por ejemplo) \(L^2(\Omega)\), tiene sentido «resolver» la ecuación
$$
M(u)(x) = f(x), \quad x \in \Omega
$$

probando la existencia de una familia \(\{ \nu_x \}_{x \in \Omega}\) de formas lineales que verifiquen
$$
\langle \nu_x, M \rangle = f(x), \quad x \in \Omega.
$$

Se dice que, \(\{ \nu_x \}_{x \in \Omega}\) es una solución en el sentido de las medidas.

Para muchas ecuaciones de interés, solo es posible demostrar un resultado de existencia recurriendo a este concepto de solución. Suele ocurrir además que la prueba no es trivial. La idea fundamental consiste en resolver en primer lugar toda una familia de problemas aproximados y generar a partir de las aproximaciones conseguidas \(u^k\) la familia \(\{ \nu_x \}_{x \in \Omega}\). Por definición, estamos ante la medida de Young asociada a las \(u^k\).

Así, resolver la ecuación de partida en el sentido habitual se reduce a probar un resultado de regularidad: que la medida de Young encontrada es de tipo Dirac; es decir, que
$$
\exists \bar{u} = \bar{u}(x) \ \hbox{ tal que } \ \nu_x = \delta_{\bar{u}(x)} \ \hbox{ en } \ \Omega.
$$

Desde hace años, esta herramienta se ha venido usando en el ámbito de las ecuaciones de la mecánica de fluidos; véase [6].

Las medidas de Young aparecen de manera natural también en relación con problemas del Cálculo de Variaciones y, en particular, en la Teoría de Control Óptimo. Por ejemplo, permiten formular (y en muchas ocasiones resolver) problemas de mezclas óptimas. Esto ocurre porque, cuando se busca el mínimo de una función definida en un espacio de funciones, de nuevo aparecen sucesiones que generan medidas de Young.

En España, las medidas de Young han sido utilizadas entre otros por Pablo Pedregal en conexión con problemas que tienen origen en Elasticidad no lineal, Turbulencia, diseño óptimo, etc.; véase [7, 8].

Para saber más:

1. A. Yong, What is a Young Tableau, Notices of the AMS, Volume 54, Number 2.
2. Pugh, C.C. «Real mathematical analysis, Second edition.» Undergraduate Texts in Mathematics. Springer, Cham, 2015.
3. Young, L.C. «Lectures on the calculus of variations and optimal control theory.» W. B. Saunders Co., Philadelphia-London-Toronto, Ont. 1969.
4. Young, L.C. «Mathematicians and Their Times. History of Mathematics and Mathematics of History.» North-Holland P. Co., Amsterdam-New York, 1981.
5. Ekeland, I.; Témam, R. «Convex analysis and variational problems.» Classics in Applied Mathematics, 28. Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), Philadelphia, PA, 1999.
6. Málek, J.; Necas, J.; Rokyta, M.; Ruzicka, M. «Weak and measure-valued solutions to evolutionary PDEs.» Applied Mathematics and Mathematical Computation, 13. Chapman & Hall, London, 1996.
7. Pedregal, P. «Parametrized measures and variational principles.» Progress in Nonlinear Differential Equations and their Applications, 30. Birkhäuser Verlag, Basel, 1997.
8. Pedregal, P. «Variational methods in nonlinear elasticity.» Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), Philadelphia, PA, 2000.