Hace unos días Rafa Nadal conseguía su 14-título de Roland-Garros, todos nos hemos enterado, en cambio pocos se han enterado de un triunfo mucho mayor de un matemático español en Paris, Javier Fresán.
Un navarro que a los 16 años ya hablaba inglés y francés, estudiaba italiano, tocaba el clarinete, ganaba la olimpiada matemática y quería estudiar matemáticas. Y parece que ha seguido a ese ritmo hasta resolver el problema planteado por Siegel en 1929 sobre la relación entre las funciones E y las hipergeométricas. Este problema llevaba 92 años propuesto, Roland Garros hay uno cada año…
Sin embargo prácticamente nadie ha hablado de este logro de un español, que en mi opinión es mucho más importante que unos logros deportivos. Y es que, quizás, no debiéramos olvidar que considerar esto un logro español es un poco atrevido. Javier hizo el grado de matemáticas en la Universidad Complutense, pero en ese momento dio el salto a París donde hizo el master y obtuvo el doctorado bajo la dirección de Christophe Soulé y Jörg Wildeshaus, después como postdoc estuvo en el Max-Planck Institut für Mathematik en Bonn y en el ETH en Zürich, actualmente es Profesor Hadamard en la École Polytechnique. Es que quizás ya lo hemos perdido y es simplemente un matemático francés…
Esto no es nuevo. Nuestro país no ha destacado en ciencias durante los últimos 2000 años de historia. No tenemos un Newton, un Gauss o un Fourier, nos conformamos con un Nadal. Todo este tiempo nos hemos regido por la máxima que Heráclito de Efeso atribuía a sus conciudadanos:
Lo digno para los efesios mayores de edad sería ahorcarse todos y dejarles el gobierno a los menores; ellos que desterraron a Hermodoro, el más valioso de entre ellos, aseverando: «que nadie entre nosotros sea el más valioso, y si lo fuere, en otra parte y con otros».
(Heráclito de Efeso)
Y esa ha sido nuestra historia, cuántos y cuántos Hermodoros hemos tenido. El último Javier …
El resultado es fruto de la colaboración de Javier con Peter Jossen, un suizo al que conoció en el ETH de Zürich. Para explicar el resultado de Javier y Peter debemos recorrer algunas ideas previas, comenzando hace 2500 años.
Cuando los griegos plantearon la cuadratura del círculo no tenían la menor idea de cómo Lindemann resolvería la cuestión unos dos mil años después. Tampoco Lindemann podía imaginar los sueños de Grothendieck y su conexión con el problema.
Primeros resultados de transcendencia.
Nos referimos aquí a la transcendencia de números concretos interesantes por sí mismos. La primera prueba importante de transcendencia es la del número \(e\), se debe a Hermite que la publicó en 1873.
Teorema de Hermite [1873]. El número \(e\) es transcendente. Es decir, si \(P(e)=0\) siendo \(P\) un poliniomio a coeficientes racionales, \(P\in\mathbb Q[x]\), entonces \(P=0\).
Lindemann era alumno de Klein y tras su tesis (en 1873) visitó diversos centros europeos. En particular en París conoció a Hermite. Discutiendo con él su prueba de la transcendencia del número \(e\). Todo el mundo sabía que la transcendencia de \(\pi\) tendría mucha más repercusión pues resolvía negativamente el problema de la cuadratura del círculo. Lo curioso es que el trabajo de Hermite contenía todas las ideas principales. Sólo era cuestión de saber usar convenientemente la ecuación \(e^{\pi i}=-1\). Pero fue Lindemann quien supo hacerlo, poco después de su visita a Hermite, probando en 1882 que \(\pi\) era transcendente.
Teorema de Lindemann [1882]. El número \(\pi\) es transcendente. Más aún \(e^\alpha\) es transcendente si \(\alpha\in \overline{\mathbb Q}\) es algebráico y no nulo.
Teorema de Lindemann-Weierstrass. Si \(\alpha_1\), …, \(\alpha_n\) son números algebraicos \(\mathbb Q\)-linealmente independientes, entonces \(e^{\alpha_1}\), …, \(e^{\alpha_n}\) son algebraicamente independientes. Esto es, si \(P\in\mathbb Q[x_1,\dots, x_n]\) es un polinomio y $$P(e^{\alpha_1}, …, e^{\alpha_n})=0,$$ entonces \(P=0\).
Hay otra formulación equivalente debida a Baker
Teorema de Lindemann-Weierstrass [formulación de Baker]. Si \(\alpha_1\), …, \(\alpha_n\) son números algebraicos distintos, y \(a_1\), …, \(a_n\) números algebraicos no todos nulos, entonces $$a_1e^{\alpha_1}+\cdots+a_n e^{\alpha_n}\ne0.$$
Cómo vemos estos teoremas se refieren a los valores de la función exponencial. En la demostración se hace uso esencial de la propiedad básica de la exponencial \(e^{a+b}=e^a e^b\) que permite transformar relaciones algebraicas en relaciones lineales. Por esto fueron un salto importante los resultados de Siegel en 1929 que consiguieron sustituir la función exponencial por otras: las funciones E.
Teorema de Siegel [1929]. \(J_m(\alpha)\) es transcendente si \(J_m(z)\) es la función de Bessel y \(\alpha\) un número algebraico no nulo.
A nosotros nos interesa especialmente la clase de funciones definidas por Siegel. Las funciones E, que son una generalización de la función exponencial.
Definición. Una función E es una serie de potencias $$f(z)=\sum_{n=1}^\infty\frac{a_n}{n!}z^n,\qquad a_n\in\overline{\mathbb{Q}},$$ tal que
(a) \(f\) es solución de una ecuación diferencial lineal \(L\cdot f=0\) con coeficientes polinómicos, es decir \(L=\overline{\mathbb{Q}}[z,\partial]\).
(b) Existe una constante \(C\) tal que \(|\sigma(a_n)|\le C^n\) para todo \(\sigma\) en el grupo de Galois absoluto \(\sigma\in \mathop{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})\).
(c) Existe \(d_n\in \mathbb{Z}_{>0}\) tal que \(d_n a_0\), …, \(d_n a_n\) son enteros algebraicos y \(d_n\le C^n\).
Entre los ejemplos tenemos la función exponencial \(e^z\). La función de Bessel $$J_0(z)=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(n!)^2}\Bigl(\frac{z}{2}\Bigr)^{2n}=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{4^n}\binom{2n}{n}\frac{z^{2n}}{(2n)!}$$ (es un buen ejercicio probar que la función de Bessel es una función E), y las funciones hipergeométricas $$F\Bigl(\Bigl.\begin{matrix}a_1,&\dots&a_p\\b_1,&\dots&b_q\end{matrix}\Bigr|\lambda z^{q-p}\Bigr)=\sum_{n=0}^\infty \frac{(a_1)_n\cdots(a_p)_n}{(b_1)_n\cdots(b_q)_n}(\lambda z^{q-p})^n,$$ donde \(0\le p<q\), \(a_j\in\mathbb Q\), \(b_k\in\mathbb{Q}\setminus\mathbb{Z}_{\le0}\), \(\lambda\in\overline{\mathbb Q}^*\) y \((x)_n=x(x+1)\cdots(x+n-1)\) es el símbolo de Pochhammer.
Las funciones E forman un algebra y el problema planteado por Siegel es si toda función E se puede escribir como una expresión polinomial en funciones hipergeométricas.
Las funciones E aparecen en el teorema de transcendencia más general que todos los anteriores
Teorema de Siegel-Shidlovskii. Sean \(f_1\), …, \(f_n\) funciones E tales que $$\frac{d}{dz}\begin{pmatrix}f_1\\\vdots\\ f_n\end{pmatrix}=A(z)\begin{pmatrix}f_1\\\vdots\\ f_n\end{pmatrix},\qquad A\in M_{n\times n}(\overline{\mathbb{Q}}(z)).$$ Si \(\alpha\) es un número algebraico no nulo y no polo de \(A(z)\), y $$P(f_1(\alpha),\dots, f_n(\alpha))=0$$ con \(P\in \overline{\mathbb{Q}}[x_1,\dots, x_n]\), entonces existe \(Q\in \overline{\mathbb{Q}}[z,x_1,\dots, x_n]\) tal que $$Q(\alpha,x_1,\dots,x_n)=P(x_1,\dots,x_n)$$ y $$Q(z,f_1(z),\dots, f_n(z))=0.$$
El teorema nos esta diciendo que una relación entre los \(f_j(\alpha)\) solo puede venir de una relación entre las funciones \(f_j(z)\). Esto me recuerda a mí un truco que suelo usar para obtener expresiones de ciertas integrales con el programa Mathematica. Quiero calcular una expresión para una integral definida \(\int_a^b f(x,y)\,dy\). Pero el Mathematica no me da el resultado. Esto suele pasar por que la variable \(x\) le estorba. Lo que hago es calcular \(\int_a^b f(\gamma,y)\,dy\) donde \(\gamma\) es la constante de Euler, que en el Mathematica está predefinida, en muchas ocasiones Mathematica sí calcula una expresión exacta, que es una función \(g(\gamma)\). Entonces compruebo numéricamente que $$\int_a^b f(x,y)\,dy=g(x).$$ Una vez que sabes el resultado es más fácil de probarlo rigurosamente.
Una pequeña idea de la prueba.
El resultado puede enunciarse en la forma
Teorema [Fresan, Jossen]. La respuesta a la pregunta de Siegel es negativa. Por ejemplo, $$F(z)=\sum_{n=0}^\infty \Bigl(\sum_{m=0}^{\lfloor 2n/3\rfloor}\frac{(\frac14)_{n-m}}{(2n-3m)!(2m)!}\Bigr)z^n$$ es una función E que es transcendental sobre el \(\overline{\mathbb Q}[z]\)-algebra generada por las funciones hipergeométricas.
En la prueba se considera una familia de funciones E dadas por integrales $$P(z)=\int_{-\infty}^\infty e^{-z f(x)}\,dx $$ donde \(f(x)\) es un polinomio de grado 4 a coeficientes algebraicos y mónico. Esto garantiza la convergencia. También podemos derivar bajo el signo integral. Usando la integración por partes es fácil ver que \(P\) satisface una ecuación de grado 3 y coeficientes polinómicos. Más aún es una función E. La parte difícil de la prueba consiste en probar que si \(P(z)\) está en el álgebra generada por las funciones E hipergeométricas, entonces los valores críticos de \(f(x)\) (es decir, \(f\) calculado en los ceros de la derivada \(f'(x)\)) han de estar alineados o formar un triángulo equilátero. Es fácil ver que la mayor parte de polinomios \(f\) no satisfacen esa condición de las raíces y por tanto responden a la cuestión de Siegel. Ellos toman \(f(x)=x^4-x^2+x\). Con esta elección se encuentra que $$P(z)=\frac12\Gamma(\tfrac14)z^{-1/4} E_0(z)+\frac12\Gamma(-\tfrac14)z^{1/4} E_1(z)$$ es una función E que no está en el algebra generada por las hipergeométricas.
La función del enunciado es \(E_0(z)\) que es una función E no hipergeométrica por heredarlo de la \(P\).
La parte difícil de la prueba depende de los trabajos de Grothendieck. Esta teoría hay que aplicarla a módulos de operadores diferenciales. Precisamente los operadores diferenciales que anulan a las funciones E. Juegan un papel especial las categorías tannakianas. Esto permite hablar de grupos de Galois de los módulos de operadores que finalmente van a estar conectados con los ceros del polinomio \(f'(x)\).
Toda esta historia me recuerda mi algoritmo para resolver problemas matemáticos que expuse en la entrada Creación artística y Creación matemática en la sección El algoritmo que nadie quiere ver. Fresán y Jossen han seguido al pié de la letra el algoritmo y el resultado es espectacular.
La controversia Lang-Mordell-Siegel.
Siegel es un gran matemático al que personalmente admiro. Mordell también. Pero son clásicos, un poco como yo mismo. Tuvieron una gran controversia con Serge Lang, ellos eran ya mayores. Lang publicó un libro Diophantine Geometry y Mordell publicó un review del mismo en el Bulletin de la AMS en 1964.
Este reviewer recuerda a Rip Van Winkle, que se durmió durante cien años y cuando despertó se encontró con una situación y una civilización (y quizás un lenguaje) completamente diferente del que él estaba acostumbrado. Había, sin embargo, algunas cosas que todavía le resultaban familiares— que es más de lo que este reviewer puede decir sobre la presentación del presente libro. (Mordell)
Siegel le escribió una carta a Mordell uniéndose a su crítica. Siegel y Mordell renegaban de la nueva matemática y esencialmente de la línea encabezada por Grothendieck.
Me temo que las matemáticas perecerán antes de que acabe este siglo si no se consigue bloquear la actual tendencia a la abstracción sin sentido, como yo la llamo: teoría del conjunto vacío … (Siegel)
¿Qué diría Siegel hoy si hubiera visto a la teoría del conjunto vacío, como él la llamaba, resolver su problema?
Para saber más.
Javier Fresán nació en 1987, obtuvo el grado en matemáticas en la Universidad Complutense en 2008 y marchó a París ha realizar el Master. «Era el año 2008, cuando aún éramos ricos y felices». Doctorándose en 2013 en París. Después de pasar por varios centros como postdoc es ahora profesor Hadamard en París. Desde tercero de la eso ya llamaba la atención. Javier tiene una actividad como divulgador muy interesante. Puede verse en su página web. También ha entrevistado a algunos matemáticos (Entrevista a Cartier).
El artículo que comentamos ha aparecido en el Annals of Mathematics:
J. Fresán y P. Jossen, A non hypergeometric E function, Ann. Math. 194 (2021) 903–942.
pero no es lectura fácil.
Sobre la controversia Lang-Mordell-Siegel, hay dos documentos importantes, el review de Mordell
L. J. Mordell, Review of Lang’s Diophantine Geometry, Bull. Amer. Math. Soc. 70 (1964), 491–498.
y un artículo de Lang en el Notices de la Amer. Math. Soc. años después
S. Lang, Mordell’s Review, Siegel’s Letter to Mordell, Diophantine Geometry, and 20th Century Mathematics, Notices Amer. Math. Soc. 42 (3) (1995), 339–350. (¡cuidado! el enlace es al pdf del numero completo del Notices).
El comentario de Lang contiene la carta de Siegel a Mordell.
La imagen destacada es la radiografía de la función de Fresán y Jossen.
¡Qué hombre!