Publicamos la solución al divertimento de las estaciones meteorológicas extrasolares. Muchas gracias a F. Damián Aranda, Fernando Carreño, Juan Miguel Expósito, Marcos Jiménez y Manuel Zambrana, Agustín Martín, Antonio Medinilla y David Ramos y Victoria Peña por sus respuestas.
Divertimento:
Año 2401. La humanidad busca explora seriamente la posibilidad de colonizar planetas extrasolares. A ese efecto se mandan dos estaciones metereológicas para estudiar en condiciones el clima del planeta Gliese 229 Ac, no «muy» lejos del Sol y candidato a ser habitado. Las estaciones están diseñadas para ser colocadas en puntos antipodales del planeta y observar hemisferios complementarios. Sin embargo, problemas aún desconocidos en el tránsito interestelar han provocado que las estaciones solo funcionen si se encuentran en puntos con la misma temperatura. Después de estudiar la situación, el equipo de matemáticos de la misión demuestra que, dado que en este curioso planeta la temperatura permanece constante en cada lugar y varía de manera continua a lo largo de la superficie, aún es posible realizar la misión con éxito. ¿Es cierto?
Solución:
Efectivamente, el equipo tiene razón. En primer lugar, si la temperatura varía de manera continua en la superficie del planeta, también lo hará en cualquiera de sus círculos máximos. Veamos que en cualquiera de ellos podemos encontrar dos puntos antipodales con igual temperatura.
Sean pues, para cada punto \(x\) del planeta, \(T(x)\) su temperatura y \(\alpha(x)\) su antípoda, que, usando una parametrización de la circunferencia adecuada, podemos suponer funciones continuas reales de variable real, que partan concretamente de un intervalo cerrado. Para cualquier punto \(x_0\) del círculo máximo escogido, tenemos tres posibilidades: o bien \(T(x_0)-T(\alpha(x_0))>0\), o bien \(T(x_0)-T(\alpha(x_0))<0\), o bien \(T(x_0)-T(\alpha(x_0))=0\). En este último caso hemos terminado. Dado que \(\alpha(\alpha(x))=x\), podemos suponer que nos encontramos en el primer caso, es decir, \(T(x_0)-T(\alpha(x_0))>0\), y así \(T(\alpha(x_0))-T(\alpha(\alpha(x_0)))<0\). Como tanto \(T\) como \(\alpha\) son continuas, la diferencia \(T(x)-T(\alpha(x))\) también lo es, así que necesariamente, gracias al Teorema de Bolzano, en el trayecto entre \(x_0\) y \(\alpha(x_0)\) hallaremos un punto \(y\) tal que \(T(y)-T(\alpha(y))=0\), obteniendo lo que queríamos.
Eivdentemente, como nuestros lectores han notado, este argumento se puede utilizar palabra por palabra, cambiando solo «de Bolzano» por «del valor intermedio».
Por otro lado, si nos vamos a matemáticas más generales, realmente no es necesario restringirse a un círculo máximo, de modo que el camino entre \(x\) y \(\alpha(x)\) puede ser cualquiera y usamos el teorema de Bolzano generalizado, que nos dice que la imagen continua de un subconjunto conexo de un espacio topológico es conexa.
Otro teorema muy bonito que resuelve este divertimento de un plumazo es el de Borsuk-Ulam, que nos dice que, de hecho, tenemos garantizada la existencia de dos puntos antipodales en Gliese 229 Ac con la mismas temperatura y presión atmosférica (o cualquier otra función continua que se nos ocurra). Quizá atinar en esos puntos exactos es más difícil para la misión, pero no está de más tenerlo en cuenta. De todos modos, como apunta Agustín Martín, aunque podamos estudiar el clima de Gliese 229 Ac en condiciones, puede que también debiéramos centrarnos en resolver esos «problemas aún desconocidos en el tránsito interestelar» por si acaso…
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