Publicamos la solución al divertimento Tocado. En esta ocasión, Marcos Jiménez y Manuel Zambrana y Agustín Martín nos han hecho llegar soluciones acertadas.
Divertimento:
Un tablero de hundir la flota es una matriz con 10 filas y 10 columnas en el que las casillas se etiquetan de A1 a J10. Hoy proponemos un divertimento en el que jugaremos sobre un plano de coordenadas enteras, con infinitas filas y columnas. En este tablero infinito, un barco se desplaza con dirección y velocidad constantes, de modo que si en un turno está en la casilla A1 y al turno siguiente en la casilla B3, seguirá la trayectoria C5, D7… en los turnos sucesivos. Desconocemos el punto de partida y la trayectoria. Tampoco conocemos el turno en el que el barco comienza a moverse, que puede ser pasado o incluso futuro (es decir, el barco no ha sido colocado en el tablero aún).
¿Existe algún método de disparar a una casilla concreta en cada turno para garantizar que alcanzaremos al barco?
Solución:
El tablero es equivalente a \(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}\). El barco parte de un punto de coordenadas enteras en cierto turno. Además, la velocidad del barco es un vector de componentes enteras.
Consideremos el conjunto de posibles posiciones iniciales, velocidades y momentos de salida:
$$A=\{ (P,V,t) : P \in \mathbb{Z}^2, V \in \mathbb{Z}^2, t \in \mathbb{Z}\}.$$
El conjunto \(A\) es numerable, pues está en biyección con \(\mathbb{Z}^5\).
Consideremos una enumeración de \(A\),
$$A=\{ (P_k,V_k,t_k) : k \geq 1\} ,$$
tal que \(t_k \leq k \) para todo \(k \geq 1\).
Disparando en el turno \(k\) a la posición
$$ P_k + (k-t_k) V_k$$
se garantiza que en algún momento se alcanzará el barco, pues esa es la posición en el turno \(k\) del barco que parte de \(P_k\) con velocidad \(V_k\) en el momento \(t_k\).
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