Sobre las Matemáticas
El premio Nobel de Físicas Richard Feynman solía retar a los matemáticos:
Apuesto a que no hay ni un solo teorema del que podáis decirme las hipótesis y la conclusión en palabras que yo pueda entender y del que no pueda deciros directamente si es cierto o falso. (Feynman)
Esta idea es completamente errónea. No hay mas que leer las respuestas al reto en StackExchange y en MathOverflow.
Hardy se encontró una vez en esa situación cuando recibió la carta de Ramanujan con una lista de ecuaciones y trataba de discernir si era un loco o un genio matemático:
Nunca antes había visto nada que se pareciera a esto. Una simple ojeada a estas ecuaciones bastaba para ver que solo podían haber sido escritas por un matemático de primera clase. Deben ser ciertas porque, si no lo fueran, nadie habría tenido la imaginación para inventarlas. (Hardy)
¿Quizás Feynman pensaba que si alguien le presentaba un teorema increíble, acertaría diciendo que era cierto?
Para matemática increíble la que hoy comentamos. Presentaremos solo algunos casos particulares. La teoría general es quizás demasiado complicada y en ese caso tan solo son conjeturas.
Contando ceros de un polinomio
El primer ejemplo tiene que ver con el polinomio \(x^3-x-1\). Este polinomio tiene sentido en cualquier anillo. Consideraremos especialmente el cuerpo \(\mathbf{F}_p\) de los restos módulo \(p\), siendo \(p\) un primo. Sea \(N_3(p)\) el número de soluciones de la ecuación \(x^3-x-1\) en el cuerpo \(\mathbf{F}_p\) $$N_3(p)=|\{x\in\mathbf{F}_p\colon x^3-x-1=0\}|.$$ Un polinomio de grado \(3\) puede tener \(0\), \(1\), \(2\) o \(3\) soluciones en un cuerpo. Encontramos fácilmente estos números para los primeros primos
$$\begin{array}{cccccccc} N_3(2)=0 & N_3(3)=0 & N_3(5)=1 & N_3(7)=1 & N_3(11)=1 & N_3(13)=0\\ N_3(17)=1 & N_3(19)=1 & N_3(23)=2 & N_3(29)=0 & N_3(31)=0 & N_3(37)=0\\ N_3(41)=0 & N_3(43)=1 & N_3(47)=0 & N_3(53)=1 & N_3(59)=3 & N_3(61)=1 \\ \dots \end{array}$$ Nuestro problema es averiguar qué son estos números. Hay un caso relativamente fácil. Si \(N_3(p)=2\) el polinomio es divisible por dos factores \(x-a\) y \(x-b\), pero entonces el cociente es de primer grado y tendríamos \(x^3-x-1=(x-a)(x-b)(x-c)\). La única forma de que solo tengamos dos raíces es que una sea doble. Esto significa que el primo \(p\) debe dividir al discriminante del polinomio. En este caso el discriminante es \(-23\). Así que \(p=23\), es el único primo tal que \(N_3(p)=2\). Pero los otros valores de \(N_3(p)\) son mucho más complicados. Para encontrar una respuesta adecuada debemos saltar a explicar algunas ideas aparentemente muy alejadas.
La geometría no euclídea y las formas modulares
Lobatchewski, Gauss, Bolyai notaron que podían construir una geometría negando el axioma de las paralelas. Pero fue Eugenio Beltrami el que consiguió un modelo que probaba que la geometría no euclídea era tan consistente como la euclídea. Tomemos un semiplano, por ejemplo el formado por los números complejos de parte imaginaria positiva, como el espacio. Si llamamos puntos a los puntos de este semiplano y llamamos rectas a las semi-circunferencias con centro en el eje real y las rectas perpendiculares al eje real, se cumplen todos los axiomas de la geometría salvo el de las paralelas. Los movimientos del espacio son las aplicaciones $$Tz=\frac{az+b}{cz+d}$$ con \(a\), \(b\), \(c\) y \(d\) números reales con \(ad-bc=1\).
Una de las joyas del siglo diecinueve es la teoría de las funciones doblemente periódicas o elípticas. Después de normalizar los periodos fundamentales pueden tomarse \(1\) y \(\tau\) con \(\Im(\tau)>0\). El periodo \(\tau\) es un parámetro que aparece en toda la teoría. De este modo surgen funciones de dos variables \(f(z,\tau)\), donde \(z\) se mueve en \(\mathbb C\), el plano euclídeo y \(\tau\in\mathbb H\) el semiplano \(\Im(\tau)>0\), el plano de la geometría no euclídea. A \(\tau\) se le llamaba el módulo de las funciones elípticas. Surgieron así las funciones modulares. Hoy se han convertido en un concepto algo técnico. Solo daremos una idea del concepto:
Una función holomorfa \(f\colon\mathbb H\to \mathbb C\) definida en el semiplano superior \(\mathbb H\) es un función modular de peso \(1\), nivel \(N\) y carácter \(\chi\) si cumple
(a) Para todo \(\tau\in \mathbb H\), \(a\), \(b\), \(c\) y \(d\in \mathbb Z\) con \(ad-bc=1\) y \(N\mid c\) $$f\Bigl(\frac{a\tau+b}{c\tau+d}\Bigr)=\chi(d)(c\tau+d)f(\tau).$$
(b) Una condición técnica que se refiere al crecimiento de la función cuando \(\tau\) se acerca al borde de \(\mathbb H\) y que se suele expresar diciendo que \(f\) es regular en las puntas.
El carácter \(\chi\) es una función definida en \(\mathbb Z\) con valores complejos, que es periódica \(\chi(n+N)=\chi(n)\) y completamente multiplicativa \(\chi(nm)=\chi(n)\chi(m)\). Lo que se suele denominar un carácter de Dirichlet.
Las transformaciones \(\frac{a\tau+b}{c\tau+d}\) que aparecen en (a) forman un subgrupo discreto (\(\Gamma_0(N)\)) del grupo de movimientos del plano no euclídeo. El peso \(1\) se refiere al exponente de \((c\tau+d)\) en la ecuación (a). El conjunto de las formas modulares de un cierto peso, nivel y carácter forman un espacio vectorial de dimensión finita.
La conexión
Existe una forma modular \(f\) de peso 1, nivel 23, y carácter \(\chi(n)=\left(\frac{n}{23}\right)\) tal que $$N_3(p)=|\{x\in F_p\colon x^3-x-1=0\}|=1+a_p.$$ Donde los coeficientes \(a_n\) son tales que $$f(\tau)=\sum_{n=1}^\infty a_n q^n, \qquad q=e^{2\pi i\tau}.$$ La forma modular verifica también que $$f=\sum_{n=1}^\infty a_nq^n=q\prod_{k=1}^\infty(1-q^k)(1-q^{23k})=$$ $$=q-q^2-q^3+q^6+q^8-q^{13}-q^{16}+q^{23}-q^{24}+\cdots$$
Hay muchas otras ecuaciones sorprendentes. Por ejemplo $$f=\frac12\sum_{n,m\in\mathbb Z}q^{n^2+nm+6m^2}-\frac12\sum_{n,m\in\mathbb Z}q^{2n^2+nm+3m^2}.$$
Todas estas relaciones permiten dar otra solución al problema de calcular \(N_3(p)\), \(N_3(23)=2\) y cuando \(p\ne 23\), $$N_3(p)=\begin{cases} 0 & \text{si $\left(\frac{p}{23}\right)=1$ y $p=2n^2+nm+3m^2$,}\\ 3 & \text{si $\left(\frac{p}{23}\right)=1$ y $p=n^2+nm+6m^2$,}\\1 & \text{if $\left(\frac{p}{23}\right)=-1$.}\end{cases}$$ Con \(p=2n^2+nm+3m^2\) queremos decir que existen enteros \(n\) y \(m\) que verifican la igualdad, lo mismo en el otro caso.
El artículo de Serre
Jean Pierre Serre, medalla Fields y premio Abel, es un gran matemático. En un artículo lleno de sugerencias publicado en 2003 considera los polinomios \(x^n-x-1\). El caso \(n=2\) es simple y el \(n=3\) ya lo hemos considerado. Serre trata también el caso \(n=4\). Claramente \(n=4\) es considerablemente más complicado que el \(n=3\). El discriminante ahora es \(-283\) y \(N_4(283)=3\) lo que implica una raíz doble. Como ejemplo de la dificultad, observemos que ahora $$N_4(p)=\begin{cases} 0 \text{ o } 4 & \text{si $\left(\frac{p}{283}\right)=1$ y $p=n^2+nm+71 m^2$,}\\ 1 & \text{si $\left(\frac{p}{283}\right)=1$ y $p=7n^2+5nm+11 m^2$,}\\ 0 \text{ o } 2 & \text{si $\left(\frac{p}{283}\right)=-1$.}\end{cases}$$ Como vemos, no podemos distinguir si \(N_4(p)=0\) o \(4\) con estas herramientas. Eso es debido a que el grupo de Galois del polinomio \(x^4-x-1\) tiene demasiadas clases de conjugación. Sin embargo Serre encuentra una solución al problema utilizando la existencia de una forma modular \(F=\sum_{n=1}^\infty a_n q^n\) de peso 1 y nivel 283 de manera que $$N_4(p)=1+a_p^2-\left(\frac{p}{283}\right).$$ La teoría de las formas modulares permite calcular los coeficientes de esta forma, pero no de manera tan directa como en el caso de \(x^3-x-1\). De hecho $$F=q+\sqrt{-2}\,q^2-\sqrt{-2}\,q^3-q^4 -\sqrt{-2}\,q^5+\cdots$$ Esta forma fue estudiada y calculada por primera vez por la matemática catalana Teresa Crespo en 1997.
La complicación en este caso se ve también en la fórmula para \(N_4(p)\): el coeficiente de la forma \(a_p\) aparece elevado al cuadrado. Esto se debe a que la forma \(F\) está relacionada con el problema de manera más indirecta que en el caso de \(N_3(p)\). Más adelante explicamos un poco más esto.
Sobre el caso \(n\ge5\) Serre afirma que no se conoce una relación explícita con las formas modulares (o con representaciones modulares) pero que debe existir alguna debido al Programa de Langlands al que ya dedicamos una entrada.
El Teorema de Modularidad
La conexión entre las formas modulares y la teoría de Galois ocupa un lugar central en gran parte de los resultados de la teoría de números moderna; quizás el hito más conocido es la demostración del Último Teorema de Fermat por Andrew Wiles. Vamos a tratar de dar una idea de cómo funciona esta relación.
Supongamos que tenemos una extensión finita de Galois \(K/\mathbb{Q}\). Una representacion de Galois de \(\mathrm{Gal}(K/\mathbb{Q})\) es un homomorfismo \(\rho:\mathrm{Gal}(K/\mathbb{Q})\rightarrow \mathrm{GL}_n(F)\), siendo \(F\) un cuerpo.
En 1971 Deligne generaliza resultados previous de Eichler y Shimura, y demuestra que, utilizando los coeficientes del desarrollo de Fourier de ciertas formas modulares, se pueden construir representaciones de Galois \(\rho:\mathrm{Gal}(K/\mathbb{Q})\rightarrow \mathrm{GL}_n(\mathbb{F}_q)\), siendo \(\mathbb{F}_q\) un cuerpo finito.
En 1974 Deligne y Serre demuestran que, en el caso de que \(f\) sea una forma modular de peso 1, se puede construir una representación de Galois \(\rho:\mathrm{Gal}(K/\mathbb{Q})\rightarrow \mathrm{GL}_n(\mathbb{C})\), siendo \(K/\mathbb{Q}\) una cierta extensión de Galois que depende de \(f\), y \(\mathbb{C}\) el cuerpo de los números complejos.
El teorema de modularidad, que durante mucho tiempo fue conocido como la conjetura de Serre, afirma que el recíproco es cierto: dada una representación de Galois \(\rho:\mathrm{Gal}(K/\mathbb{Q})\rightarrow \mathrm{GL}_n(\mathbb{F}_q)\), que satisface una serie de condiciones necesarias, existe una forma modular \(f\) tal que \(\rho\) es la representación de Galois asociada a \(f\). Este sorprendente teorema fue demostrado en 2009 por Khare y Wintenberger. De forma intuitiva, afirma que las formas modulares describen una clase muy amplia de representaciones de dimensión \(2\) de los grupos de Galois de las extensiones finitas de \(\mathbb{Q}\).
Para el caso de representaciones de Galois \(\rho\) con valores en \(\mathrm{GL}_2(\mathbb{C})\), el teorema de modularidad afirma que existe una forma modular de peso \(1\) tal que la representación asociada por Deligne y Serre coincide con \(\rho\).
La estrategia en el caso \(x^3 – x- 1\) y \(x^4 -x-1\)
Volvamos ahora al ejemplo del polinomio \(x^3 – x- 1\). Este polinomio tiene como grupo de Galois el grupo simétrico \(S_3\). Si \(K\) es el cuerpo que se obtiene adjuntando a \(\mathbb{Q}\) las raíces de \(x^3 – x -1\), tenemos un isomorfismo \(\mathrm{Gal}(K/\mathbb{Q})\rightarrow S_3\). Ahora bien, resulta que el grupo \(\mathrm{GL}_2(\mathbb{C})\) tiene un subgrupo isomorfo a \(S_3\). Podemos entonces construir el homomorfismo \(\rho:\mathrm{Gal}(K/\mathbb{Q})\rightarrow S_3\hookrightarrow \mathrm{GL}_2(\mathbb{C})\). A este homomorfismo \(\rho\) se le puede aplicar el teorema de modularidad; la forma modular \(f\) que resuelve el caso \(n=3\) es aquella que está asociada a esta representación de Galois.
Para entender por qué esta forma modular está relacionada con el cálculo de \(N_3(p)\) para un primo \(p\), tenemos que recordar el papel de los elementos de Frobenius. Para cada primo \(p\not=23\), existe un elemento del grupo de Galois (bien definido salvo conjugación), llamado Frobenius en \(p\), de forma que si consideramos la permutación \(\sigma_p\) de \(S_3\) asociada, la descomposición en ciclos disjuntos de \(\sigma_p\) determina la factorización de \(x^3 – x- 1\) en \(\mathbb{F}_p\) (y en particular, el número de raíces que tiene el polinomio módulo \(p\)). Ahora bien, resulta que la traza de la imagen por \(\rho\) del Frobenius en \(p\) es el coeficiente \(a_p\) de la forma modular \(f\). Con esta información podemos dar la fórmula simple para \(N_3(p)= 1 + a_p\).
Veamos ahora el caso del polinomio \(x^4 – x- 1\). Este polinomio tiene como grupo de Galois el grupo simétrico \(S_4\). De nuevo, llamamos \(K\) al cuerpo que se obtiene adjuntando a \(\mathbb{Q}\) las raíces de \(x^4 – x -1\). Tenemos un isomorfismo \(\mathrm{Gal}(K/\mathbb{Q})\rightarrow S_4\). Ahora no podemos ver a \(S_4\) como un subgrupo de \(\mathrm{GL}_2(\mathbb{C})\), pero sí que podemos verlo como un subgrupo de \(\mathrm{PGL}_2(\mathbb{C})\). Aquí \(\mathrm{PGL}_2(\mathbb{C})\) es el cociente de \(\mathrm{GL}_2(\mathbb{C})\) por las matrices escalares. Podemos entonces construir el homomorfismo \(\rho:\mathrm{Gal}(K/\mathbb{Q})\rightarrow S_4\hookrightarrow \mathrm{PGL}_2(\mathbb{C})\). Este homomorfismo no es una representación de Galois, porque el codominio es \(\mathrm{PGL}_2(\mathbb{C})\) en lugar de \(\mathrm{GL}_2(\mathbb{C})\). Pero se puede demostrar que existe un cuerpo \(\widetilde{K}\supset K\supset \mathbb{Q}\), que es de Galois sobre \(\mathbb{Q}\) y un homomorfismo \(\widetilde{\rho}:\mathrm{Gal}(\widetilde{K}/\mathbb{Q})\rightarrow \mathrm{GL}_2(\mathbb{C})\) que induce el homomorfismo \(\rho\). Esta construcción es la que realiza explícitamente Teresa Crespo. Finalmente, a este homomorfismo \(\widetilde{\rho}\) sí se le puede aplicar el teorema de modularidad; la forma modular \(F\) de la sección anterior es aquella asociada a esta representación de Galois. Puesto que la relación entre \(K/\mathbb{Q}\) y \(F\) no es tan directa como en el caso de \(x^3 – x- 1\), la fórmula que obtenemos para relacionar \(N_4(p)\) y los coeficientes de \(F\) es más complicada que en el caso de \(x^3 – x – 1\).
El caso \(x^5-x-1\)
En junio de este año Chandrashekhar Khare, Alfio Fabio la Rosa y Gabor Wiese han dado una forma explicita para \(N_5(p)\) en términos de una forma modular de Hilbert $$ N_5(p)=1+\left(\frac{-151}{p}\right)\cdot\prod_{\mathfrak p|p}a_{\mathfrak p}. $$ En este caso el discriminante de \(x^5-x-1\) es \(19\cdot151\). Los coeficientes de la forma modular \(a_{\mathfrak I}\) estan indexados por los ideales del anillo de los enteros de \(\mathbb Q(\sqrt{19\cdot151})\). Para cada primo racional \(p\) el ideal generado \((p)\) puede ser primo en el anillo de los enteros o ser producto de dos ideales primos \((p)=\mathfrak p_1 \mathfrak p_2\).
La novedad sobre todo es usar una forma modular de Hilbert. Estas son generalizaciones de las formas modulares clásicas. Enseguida veremos por qué nos hace falta considerar esta generalización.
La construcción en este caso comienza de forma similar a las anteriores. Comenzamos observando que el polinomio \(x^5 – x – 1\) tiene como grupo de Galois el grupo simétrico \(S_5\). En este caso se utilizará el isomorfismo \(S_5\simeq \mathrm{PGL}_2(\mathbb{F}_5)\). De nuevo, nos encontramos con que, si \(K\) es el cuerpo que se obtiene adjuntando a \(\mathbb{Q}\) las raíces de \(x^5 – x – 1\), podemos construir fácilmente un homomorfismo \(\mathrm{Gal}(K/\mathbb{Q})\rightarrow S_5\rightarrow \mathrm{PGL}_2(\mathbb{F}_5)\). Podríamos proceder como en los casos anteriores y construir un homomorfismo \(\mathrm{Gal}(\widetilde{K}/\mathbb{Q})\rightarrow \mathrm{GL}_2(\mathbb{F}_5)\) para un cierto cuerpo \(\widetilde{K}\supset K\), y aplicar el teorema de modularidad en característica 5, pero esto solo nos proporcionará información sobre \(N_5(p)\) módulo \(5\).
Para encontrar una fórmula para \(N_5(p)\) necesitamos un homomorfismo con valores en \(\mathrm{GL}_2(\mathbb{C})\). Los autores realizan una ingeniosa construcción, de forma que consiguen una representación de Galois $$\rho:\mathrm{Gal}(\widetilde{K}/E)\rightarrow \mathrm{GL}_2(\mathbb{C}),$$
donde \(E= \mathbb{Q}(\sqrt{19\cdot 51})\) y \(\widetilde{K}\) es un cuerpo que verifica que \(\widetilde{K}\supset K\) y \(\widetilde{K}\supset E\).
Pero no podemos aplicar el teorema de modularidad directamente a este homomorfismo, porque el grupo de Galois que aparece no es el grupo de Galois de una extensión de \(\mathbb{Q}\), sino de \(E\). Es en este punto donde surge la necesidad de utilizar una generalización del teorema de modularidad, que relaciona las formas modulares de Hilbert con las representaciones de grupos de Galois de ciertas extensiones de \(\mathbb{Q}\). Las formas modulares de Hilbert pueden pensarse como funciones de varias variables complejas, que verifican unas leyes de transformación semejantes a las formas modulares clásicas en cada variable.
El caso \(x^n-x-1\)
Como hemos visto, los casos anteriores se han tratado utilizando que el grupo de Galois del polinomio \(x^n -x – 1\), que es el grupo simétrico \(S_n\), podía relacionarse con un subgrupo de \(\mathrm{GL}_2(\mathbb{C})\). A medida que aumente el exponente \(n\), el grupo \(S_n\) irá creciendo y será cada vez más complicado encontrar un subgrupo finito de \(\mathrm{GL}_2(\mathbb{C})\) que recoja suficiente información sobre \(S_n\) como para recuperar \(N_n(p)\) a partir de la forma modular correspondiente. ¿Qué podríamos hacer en el caso general?
Una posible respuesta es considerar representaciones de Galois \(\rho:\mathrm{Gal}(K/\mathbb{Q})\rightarrow \mathrm{GL}_m(\mathbb{C})\), para valores de \(m\) cada vez más grandes. El programa de Langlands conjetura que estas representaciones de Galois deben estar asociadas a unos objetos, las representaciones automorfas, que generalizan a las formas modulares (y a las formas modulares de Hilbert). Quién sabe, quizás algún día el caso general esté a nuestro alcance.
Para saber más
Serre es un gran expositor y mantiene siempre un lenguaje lo más simple posible, su artículo es muy agradable de leer y contiene muchas preguntas implícitas muy interesantes. Su acceso es libre
Jean Pierre Serre, On a theorem of Jordan, Bull. Amer. Math. Soc. 40 (2003) 429-440.
La cita de Feynman esta sacada del libro:
Richard P. Feynman, Surely You’re Joking, Mr. Feynman—Adventures of a curious character. W. W. Norton \&\ Company. 1985.
Existe traducción al español.
Richard P. Feynman, ¿Está Vd. de broma Sr. Feynman?, Alianza Editorial 1994.
Y es un libro muy divertido que recomiendo a todos leer.
La de Hardy esta sacada de su libro sobre Ramanujan,
G. H. Hardy, Ramanujan: Twelve Lectures on Subjects Suggested by His Life and Work, AMS/Chelsea Publication reimpreso en 2000.
El artículo que comentamos, resolviendo una parte del problema propuesto por Serre está todavía solo en arXiv:
Chandrashekhar, B. Khare, Alfio Fabio la Rosa, Gabor Wiese, Splitting fields of $x^n-x-1$ (particularly for $n=5$), prime decompositions and modular forms, arXiv:2206.08116.
La imagen destacada es la radiografía de una primera aproximación a la función \(\Xi(t)\).
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